pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

3.1. Homotopie
Es fehlen nun noch Bezeichnungen, die wir benutzen können, um Äquivalenzklassen
im Allgemeinen und eine spezielle Klasse im Besonderen kennzeichnen zu können.
Definition 3.3: Die Äquivalenzklasse einer stetigen Abbildung f : X → Y unter der
Homotopierelation ≃ bezeichnen wir als [ f ]. Eine stetige Abbildung g : X → Y, die
homotop zu einer konstanten Abbildung c y0 : X → Y : x ↦→ y 0 ist, [g] = [c y0 ], wird
nullhomotop genannt.
Die Klasse der nullhomotopen Abbildungen wird bald sehr wichtig sein, da sie das
neutrale Element der Fundamentalgruppe darstellen wird. Dafür notwendig ist, dass
wir eine Verknüpfung von Abbildungsklassen finden und dass das Nullelement eindeutig
ist.
Lemma 3.4: Für f ∈ C(X, Y) und g ∈ C(Y, Z) ist
wohldefiniert.
[g] · [ f ] := [g ◦ f ]
BEWEIS: Seien dazu f ≃ f ′ mittels F und g ≃ g ′ mittels G. Setze dann H 1 = g ′ ◦ F.
Damit ist bereits g ′ ◦ f ≃ g ′ ◦ f ′ mittels H 1 . Setze weiter H 2 : X × [0, 1] → Z :
H 2 (x, t) = G( f (x), t). Somit ist H 2 eine Homotopie von g ◦ f zu g ′ ◦ f . Insgesamt
ergibt sich:
g ◦ f ≃ H2 g ′ ◦ f ≃ H1 g ′ ◦ f ′ .
Lemma 3.5 (und Definition): Seien c y1 : X → Y und c y2 : X → Y zwei konstante
Abbildungen und Y wegzusammenhängend 1 . Dann sind c y1 ≃ c y2 homotop. Man nennt
daher 0 := [c y ] die Klasse der konstanten Abbildungen, da für f ∈ C(X, Y), c x : W → X
konstant, ˜c z : X → Z konstant und c z : Y → Z konstant gilt:
[ f ] · 0 = [ f ] · [c x ] = [ f ◦ c x ] = [c f (x) ] = 0
0 · [ f ] = [c z ] · [ f ] = [c z ◦ f ] = [ ˜c z ] = 0
BEWEIS: Seien c y1 , c y2 : X → Y zwei konstante Abbildungen. Da Y wegzusammenhängend
ist, existiert α : [0, 1] → Y ein Weg mit Anfangspunkt y 1 und Endpunkt y 2 .
Die Abbildung H : X × [0, 1] : H(x, t) = α(t) ist damit eine Homotopie c y1 ≃ c y2 .
3.1.1 Homotopie von Pfaden
Definition 3.6: Sei X ein topologischer Raum. Eine stetige Abbildung α : [0, 1] → X
heißt Pfad auf X oder Weg auf X. Eine stetige Abbildung β : [0, 1] → X mit β(0) =
β(1) =: p heißt geschlossener Pfad mit Aufpunkt p. Die Menge der geschlossenen Pfade
mit Aufpunkt p ist
C(p) = {α : [0, 1] → X Pfad : α(0) = α(1) = p}.
1 Nach der Definition von Mannigfaltigkeiten (Definition 2.11) sind diese stets wegzusammenhängend,
diese Bedingung stellt also keine wirkliche Einschränkung für uns dar.
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