pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
Damit können wir schließlich die gesuchte universelle Eigenschaft nachweisen:
Falls Φ : ˜M/Γ → N differenzierbar ist, so ist auch Φ ◦ π differenzierbar. Ist umgekehrt
Φ : ˜M/Γ → N stetig, so dass Φ ◦ π differenzierbar ist, so existiert für jeden
Punkt p ∈ M eine Karte ϕ p = ϕ um p und eine beliebige Karte ψ um q = Φ(p), so
dass für die Karte ˜ϕ ˜p = ˜ϕ um ˜p ∈ ˜M gilt:
ψ ◦ Φ ◦ ϕ −1 = ψ ◦ Φ ◦ ( ˜ϕ ◦ (π ∣ ∣Ũ) −1 ) −1 = ψ ◦ Φ ◦ (π ∣ ∣Ũ) ◦ ˜ϕ −1 .
Da Φ ◦ π nach Voraussetzung differenzierbar war, ist diese Verkettung differenzierbarer
Abbildungen damit ebenso differenzierbar.
Wir haben also durch eine beliebige eigentlich diskontinuierliche Operation auf einer
Mannigfaltigkeit eine komplett neue Mannigfaltigkeit erschaffen, und insbesondere ist
π : M → M/Γ eine Überlagerung.
Satz 6.20: Sei Γ eine eigentlich diskontinuierliche Operation auf ˜M und π : ˜M → ˜M/Γ die
kanonische Projektion auf den Bahnenraum. Dann ist π eine Überlagerung.
BEWEIS: Sei M := ˜M/Γ und p ∈ M beliebig, ˜x ∈ π −1 (x) und somit x = Γ ˜x = [ ˜x].
Wir wählen eine Umgebung Ũ von ˜x so dass g 1 (Ũ) ∩ g 2 (Ũ) = ∅ für beliebige
g 1 ̸= g 2 gilt. Dann gilt für U := π(Ũ) ⊆ M:
π −1 (U) = ⋃ g∈Γ
g(Ũ)
und π|Ũ : Ũ → U ist stetig, bijektiv und auch offen, denn für ein Ṽ ⊆ ˜M ist π −1 ◦
π(Ṽ) = ⋃ g∈Γ g(Ṽ) ⊆ M, weil jedes g ∈ Γ als Diffeomorphismus operiert. Aus
diesem Grund ist auch π| g(Ũ) → U ein Diffeomorphismus (denn es ist π| g(Ũ) =
(p|Ũ) ◦ g −1 ). Also ist π eine Überlagerung.
Das aber heißt, dass wir die Begriffe, die wir bis hier entwickelt haben alle weiter benutzen
können. Und tatsächlich haben wir nicht nur irgendeine Überlagerung gefunden,
sondern sogar eine von besonderer Natur:
Lemma 6.21: Sei Γ eine eigentlich diskontinuierliche Operation auf einer Mannigfaltigkeit
˜M. Dann ist π : ˜M → ˜M/Γ = M eine reguläre Überlagerung.
BEWEIS: Es ist zu zeigen, dass H = π ∗ (π 1 ( ˜M)) ein Normalteiler in π 1 (M) ist. Sei
dazu [ν] ∈ H und [α] ∈ π 1 (M). Dann ist [α ∗ ν ∗ α −1 ] ∈ π 1 (M), und somit existiert
ein Lift (α ∗ ν ∗ α −1 ) ∼ ∈ π 1 ( ˜M), also ist π ∗ ((α ∗ ν ∗ α −1 ) ∼ ) = [α ∗ ν ∗ α −1 ] ∈ π 1 (M),
und folglich ist H ✂ π 1 (M) ein Normalteiler.
Mit diesem Lemma ist es schließlich möglich, genauere Informationen über die überlagerte
Fundamentalgruppe zu gewinnen.
76