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4.1. Summen von Mannigfaltigkeiten
Lemma 4.3: Seien N 1 und N 2 zwei n-dimensionale Mannigfaltigkeiten und B i , B
i ′ ⊆ N i mit
ψ i : B n → B i und ψ
i ′ : Bn → B
i ′ Diffeomorphismen. Dann ist
N 1 # ψ1 ,ψ 2
N 2
∼ = N1 # ψ ′
1 ,ψ ′ 2 N 2.
BEWEIS: Wie oben seien p 1 ∈ ∂B 1 und p 2 ∈ ∂B 2 seien äquivalent, p 1 ∼ p 2 , falls
ψ 2 ◦ ψ −1
1 (p 1) = p 2 ist, und ebenso seien q i ∈ ∂B ′ i
äquivalent, q 1 ∼ ′ q 2 , falls ψ ′ 2 ◦
ψ ′ 1−1 (q 1 ) = q 2 ist. Dann definiere:
M 1 = (N 1 \ ˚B 1 ) + (N 2 \ ˚B 2 )/ ∼
M 2 = (N 1 \ ˚B ′ 1) + (N 2 \ ˚B ′ 2)/ ∼ ′
Wir haben also zwei Mannigfaltigkeiten, die beide die Definition der zusammenhängenden
Summe erfüllen, aber mit unabhängig gewählten Verbindungskugeln
(siehe Abb. 4.4). Zu zeigen ist nun, dass M 1
∼ = M2 ist.
B 1 B
1
′
?
N 1
N 1
∼=
B 2
B
2
′
N 2
N 2
Abbildung 4.4: Ist die Summe unabhängig von der Wahl von B 1 und B 2 ? Das heißt, sind
für verschiedene Wahlen B 1 , B 2 und B
1 ′ , B′ 2
die resultierenden Mannigfaltigkeiten
diffeomorph?
An dieser Stelle müssen wir auf etwas zurückgreifen, was in dieser Arbeit nicht
bewiesen werden kann, nämlich dass es im Wesentlichen nur eine Art gibt, abgeschlossene
Kugeln in eine Mannigfaltigkeit einzubetten. Das heißt, für zwei Einbettungen
ψ i : B n → N existiert ein Diffeomorphismus Φ : N → N, so dass
Φ ◦ ψ 1 = ψ 2 ist. Dieses Ergebnis erhält man beispielsweise aus Betrachtungen von
Isotopien und deren Erweiterungen zu Diffeotopien und Diffeomorphismen, siehe
z.B. [4, Chapter 8.3].
Damit ergibt sich der Rest des Beweises recht einfach: Sei Φ : N 1 → N 1 ein Diffeomorphismus,
der B 1 auf B
1 ′ verschiebt und Ψ : N 2 → N 2 ein Diffeomorphismus,
der B 2 auf B
2 ′ abbildet. Mit dem im Beweis zu Lemma 4.2 beschriebenen Techniken
lassen sich Φ und Ψ zu einem Diffeomorphismus M 1 → M 2 kombinieren.
Damit haben wir die zusammenhängende Summe zu einem guten Werkzeug gemacht,
mit dem wir neue Mannigfaltigkeiten bauen können.
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