pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

2.1. Mannigfaltigkeiten
Menge Ṽ p ⊆ R n + im n-dimensionalen Halbraum R n + := {(x i ) i=1,...,n ∈ R n : x 1 ≥ 0}
ist. Ein Punkt p ∈ M heißt Randpunkt, falls eine Karte ϕ um p existiert, so dass
ϕ(p) ∈ {(x i ) i=1,...,n ∈ R n : x 1 = 0} = {0} × R n−1 liegt. Die Menge der Randpunkte
von M wird mit ∂M bezeichnet 1 . Siehe auch Abbildung 2.2.
Die weiteren Definitionen folgen alle analog.
R n x 1
ϕ p
ϕ p (p)
M
q
p
∂M
R n x 1
ϕ q
ϕ q (q)
Abbildung 2.2: Berandete Mannigfaltigkeiten haben einen Rand, also solche Punkte,
deren Karten am „Rand“ des Halbraumes R n + liegen.
Falls eine berandete Mannigfaltigkeit M leeren Rand hat, also ∂M = ∅, so fällt Definition
2.11 mit Definition 2.4 zusammen, da Karten ϕ : U → V, deren Bildbereich
V ⊆ R n +\({0} × R n−1 ) liegt, genau so mächtig sind wie Karten, deren Bildbereich in
R n liegt (da R n und R n +\({0} × R n−1 ) homöomorph sind). Unberandete Mannigfaltigkeiten
sind also ein Spezialfall von berandeten Mannigfaltigkeiten.
Wir werden uns im Folgenden zumeist auf unberandete Mannigfaltigkeiten beziehen,
also auf solche, deren Rand ∂M = ∅ leer ist.
Eine erste Möglichkeit, Mannigfaltigkeiten zu produzieren, ist, das cartesische Produkt
zweier Mannigfaltigkeiten zu bilden.
Satz 2.5: Für zwei (glatte, kompakte) Mannigfaltigkeiten N 1 und N 2 ist
M := N 1 × N 2
wieder eine (glatte, kompakte) Mannigfaltigkeit.
BEWEIS: Folgt aus den Definitionen.
Damit haben wir bereits das erste Werkzeug gefunden, das wir benutzen können, um
aus bekannten Mannigfaltigkeiten neue zu erstellen: das cartesische Produkt.
1 Diese Bezeichnung ∂M für die Randpunkte von M hat nichts mit der topologischen Bezeichnung des
Randes einer Menge zu tun, sondern gilt ausschließlich für berandete Mannigfaltigkeiten.
17