pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

4.4. Zerlegung
N
N
S
(a) Die Sphäre S 2 , mit
Nordpol N und Südpol
S.
S
(b) Die beiden „Schalen“, aus denen die S 2 zusammengesetzt
sind, ergeben sich, wenn jeweils
N oder S entfernt werden. Beide Schalen sind
einfach zusammenhängend, da sie diffeomorph
zu R 2 sind.
(c) Der Durchschnitt
der beiden Schalen
ist diffeomorph zu
einem Zylinder. Dieser
ist nicht einfach
zusammenhängend.
Abbildung 4.8: Die Fundamentalgruppe der Sphäre π 1 (S 2 ) ergibt sich als das Sternprodukt
der beiden Teile modulo der Fundamentalgruppe des Durchschnitts.
Der Durchschnitt ist nicht einfach zusammenhängend, aber die
beiden Teile sind es.
4.4 Zerlegung
Mindestens ebenso wichtig wie die Komposition neuer Mannigfaltigkeiten als zusammenhängende
Summe von zweien ist es, eine „große“ Mannigfaltigkeit in kleinere Teile
zerlegen zu können, also die Umkehrung der Summenbildung. Wie man schnell einsieht,
erzeugt die Summenbildung einer Mannigfaltigkeit mit einer Sphäre nichts neues,
es ist M # S n = M. Das heißt, die Zerlegung einer Mannigfaltigkeit M in Komponenten
N 1 # N 1 # . . . # N k wird höchstens bis auf eine Menge von S n eindeutig sein. Und
tatsächlich stellt sich heraus, dass dies die einzigen Probleme sind, die bei der Zerlegung
auftreten.
Der Prozess, mit dem Mannigfaltigkeiten zerlegt werden, ist der folgende:
Definition 4.7: Sei M n eine Mannigfaltigkeit und S eine n − 1-dimensionale, eingebettete
Sphäre. Dann erhalten wir durch Chirurgie entlang S, das heißt, durch Entfernen
einer kleinen zylindrischen Umgebung ˜S ∼ = S × (−ε, ε) (falls eine solche existiert)
von S höchstens zwei zusammenhängende Teile, die durch Auffüllen der Schnittstellen
durch einen n-Ball zu Mannigfaltigkeiten werden. Wir schreiben
M|S = (N 1 , N 2 ).
Eine Voraussetzung dafür, dass Chirurgie entlang einer eingebetteten Sphäre S möglich
ist, ist dass das Normalenbündel L → S von S trivial ist, also L ∼ = R. Nur dann haben
wir überhaupt die Möglichkeit, dass eine zylindrische Umgebung S × (−ε, ε) von S
gefunden werden kann, entlang derer die Mannigfaltigkeit zerschnitten wird.
Es ist zu beachten, dass Chirurgie an einer Mannigfaltigkeit, wenn sie denn überhaupt
möglich ist, nicht immer zwei Teile erzeugt, siehe z.B. Abbildung 4.10. Wir sind nur
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