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Kapitel 9. Das Thurstonprogramm
Die Geometrisierungsvermutung beinhaltet also, dass durch den dargestellten Prozess
tatsächlich alle existierenden 3-Mannigfaltigkeiten hergestellt werden.
Dieses Ergebnis ist mehr als erstaunlich; es enthält mehrere andere benannte Ergebnisse
als Spezialfälle. Beispielsweise besagt die Poincaré-Vermutung, dass eine (kompakte,
randlose, orientierbare) 3-Mannigfaltigkeit genau dann triviale Fundamentalgruppe
hat, wenn sie die Sphäre S 3 ist. Das heißt, in der Sprache unseres Algorithmus „terminiert“
die Poincaré-Vermutung bereits nach dem ersten Schritt: Wir wählen nur eine
einzige Modellgeometrie und wenden keinen der weiteren Schritte an. Auch die Hyperbolisierungsvermutung
und die Elliptisierungsvermutung sind auf ähnliche Weise
Spezialfälle der Geometrisierungsvermutung: stets wird auf eine Menge von Geometrien
und Werkzeugen eingeschränkt, so dass der Algorithmus nicht komplett durchlaufen
wird, sondern nur Teile benutzt werden.
Mit dem Beweis des Theorems 2003 durch Grisha Perelman [10] wurde also unter Anderem
gleichzeitig die seit 1904 offene Poincaré-Vermutung bewiesen. Sie war eines der
sieben „Millenium Problems“, auf deren Lösung die Clay Mathematical Foundation eine
Million US-Dollar ausgesetzt hatte – und ist das bisher einzige der sieben Probleme,
das gelöst werden konnte.
9.1 Die Modellgeometrien
Die Modellgeometrien selbst sind nichts Anderes als bestimmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten,
also solche Mannigfaltigkeiten, die eine Riemannsche Metrik tragen. Diese
Metrik definiert dabei Abstände und Winkel auf der Mannigfaltigkeit, erzeugt also genau
eine Geometrie auf der Mannigfaltigkeit.
Wie sich herausstellte, sind für die Erfüllung der Thurstonvermutung gerade einmal
acht Geometrien notwendig.
• Der euklidische Raum R 3 mit der flachen Metrik.
• Die runde Sphäre S 3 mit der runden Metrik.
• Den hyperbolischen Raum H 3 mit der hyperbolischen Metrik.
• Die Produktmannigfaltigkeit S 2 × R mit der induzierten Metrik.
• Die Produktmannigfaltigkeit H 2 × R mit der induzierten Metrik.
• Nil
• Sol
• SL(2, ˜ R), die universelle Überlagerung der speziellen linearen Gruppe SL(2, R).
Dabei stellen die ersten drei genannten Geometrien (R 3 , S 3 und H 3 ) solche mit konstanter
Schnittkrümmung dar; die folgenden zwei (S 2 × R und H 2 × R) stellen Geometrien
aus Produkten dar; und die letzten drei (Nil, Sol und SL(2, ˜ R)) schließlich stellen Geometrien
aus Liegruppen dar.
Der Beweis, dass diese acht Modellgeometrien ausreichen sowie die Geometrien selbst
stellen das Thema zahlreicher weiterführender Arbeiten dar, siehe z.B. [13].
Insgesamt konnten wir damit also einen enorm weitreichenden Überblick über die zur
Klassifizierung der 3-Mannigfaltigkeiten notwendigen Sätze und Methoden geben.
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