pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe
β
β
t = 1/2 t = 3/4
t = 1/4 t = 1/2
α
α ∗ (β ∗ γ)
γ
α
(α ∗ β) ∗ γ
γ
Abbildung 3.4: Die Parametrisierungen von α ∗ (β ∗ γ) und (α ∗ β) ∗ γ unterscheiden
sich.
Nun haben wir für unsere gewünschte Gruppenstruktur bereits herausgefunden, dass
die Verknüpfung assoziativ ist. Es folgt das neutrale Element der Gruppe, welches der
konstante Pfad ist.
Lemma 3.13: Die Verknüpfung eines Pfades α ∈ C(p) mit dem konstanten Pfad c p :
[0, 1] → X : t ↦→ p auf dem Aufpunkt p ist eine Reparametrisierung von α, und damit
[α][c p ] = [c p ][α] = [α].
BEWEIS: Seien ϕ 1 , ϕ 2 : [0, 1] → [0, 1] mit
{ { 2t für 0 ≤ t ≤
1
ϕ 1 (t) =
2
0 für 0 ≤ t ≤
1
1 für 1 2 < t ≤ 1 und ϕ 2(t) =
2
2t für 1 2 < t ≤ 1.
Dann sind α ◦ ϕ 1 = α ∗ c p und α ◦ ϕ 2 = c p ∗ α, und folglich nach Lemma 3.11
homotop.
Das Einzige, was noch zu einer Gruppenstruktur fehlt, sind inverse Elemente, welche
nun definiert werden.
Definition 3.14: Zu einem Pfad α ∈ C(p) wird der zu α inverse Weg als der umgekehrt
durchlaufene Weg bezeichnet, also
α −1 : [0, 1] → X : t ↦→ α(1 − t).
Die Bezeichnung „inverser Weg“ ist nicht zufällig gewählt: Verknüpft man einen Weg
mit seinem Inversen, so erhält man eine „Schlaufe“, die nur einmal aus p herausläuft
und dann durch die gleichen Punkte wieder zurück. Diese Schlaufe kann in jedem Fall
zugezogen werden, das heißt, die Schlaufe ist nullhomotop (siehe auch Abb. 3.5):
Lemma 3.15: Die Verknüpfung eines Pfades α ∈ C(p) mit seinem Inversen α −1 ist homotop
zum konstanten Pfad c p .
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