pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 4. Zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten
α
α
p
x 1
x 2
0 t 1 t 2 1
U
X = U ∪ V
Abbildung 4.5: Der Pfad α in X = U ∪ V wird so zerlegt, dass jedes Teilstück komplett
in U oder in V liegt.
V
mit Y r = U, wenn η r ein Weg in U ist und Y r = V, wenn η r ein Weg in V ist. Also
existiert ein Urbild von [α], und somit ist Φ surjektiv, also auch ˆΦ.
Die Injektivität von ˆΦ zeigt man wie folgt: Sei nun c = [γ 1 ] . . . [γ k ] ∈ G 1 ∗ G 2 mit
Φ(c) = 1 in G und γ r Weg in U oder V für jedes r = 1, . . . , k. Zu zeigen ist, dass
ĉ = 1. Es existiert eine Homotopie H : [0, 1] × [0, 1] → X von γ = γ 1 ∗ · · · ∗ γ k
auf c p , da Φ(c) = 1 ist. Wir zerlegen [ r k , r+1
k
] × [0, 1] in ein so feines Gitter, dass
für jedes Rechteck Q gilt, dass H(Q) ⊆ U oder H(Q) ⊆ V. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit ist Q = [ r k , r+1
k ] × [ s l , s+1
l
] eine Zerlegung in Rechtecke (siehe
Abbildung 4.6).
1
s+1
l
s
l
l
q
o
Q
u
r
h s
c p
0
β r+1
0
r
k
r+1
k
1
Abbildung 4.6: Die Benennung der Variablen für die rechteckige Zerlegung des Einheitsquadrates
[0, 1] × [0, 1].
Wähle für jedes q ∈ [0, 1] 2 des Gitters Γ = 1 k Z × 1 l Z einen Hilfsweg ζ q von p nach
H(q) in U ∩ V und betrachte für jede Kante v, die q 1 mit einem benachbarten q 2
verbindet, den geschlossenen Weg
¯v := ζ q1 ∗ (H ◦ v) ∗ ζ −1
q 2
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