pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
Abbildung 6.3: Eine eigentlich diskontinuierliche Operation bildet eine Umgebung eines
Punktes so ab, dass sich keine zwei Bilder schneiden.
Mit diesen speziellen Operationen werden wir in Kürze Quotienten aus Mannigfaltigkeiten
erzeugen können. Bevor wir dies tun, müssen wir allerdings die Werkzeuge zurechtlegen,
die wir benötigen, um auch die Veränderungen an der Fundamentalgruppe
verfolgen zu können.
6.3 Lifts
Wir benötigen im Folgenden eine Möglichkeit, für eine Überlagerung ˜M → M Wege in
M auf Wege in ˜M abbilden zu können, um damit im nächsten Schritt die Fundamentalgruppe
der überlagerten Mannigfaltigkeit M berechnen zu können. Diese Abbildung
wird „Lift“ genannt.
Definition 6.11: Sei π : ˜M → M eine Überlagerung. Für einen topologischen Raum
Y und eine stetige Abbildung f : Y → M heißt jede stetige Abbildung ˜f : Y → ˜M mit
π ◦ ˜f = f ein Lift von f .
Y
˜f ✒
✲
f
˜M
π
❄
M
Ist Y = [0, 1] und f = α ein Weg in M, so nennt man ˜α einen gelifteten Weg.
Lifts geschlossener
Pfade sind nicht
immer geschlossen.
Ist ein Weg in M geschlossen, so braucht dies für Lifts nicht mehr zu gelten. Abgesehen
davon gibt es im Allgemeinen mehr als einen Lift für jeden Weg, nämlich genau so viele,
wie es Urbilder des Anfangs in der Faser gibt (siehe Abbildung 6.5). Um nun einen
gelifteten Weg eindeutig zu machen, reicht es aus, den Anfangspunkt festzulegen:
Lemma 6.12: Sei π : ˜M → M eine Überlagerung, x 0 ∈ M und α : [0, 1] → M ein Weg in
M mit α(0) = x 0 . Zu jedem ˜x 0 ∈ π −1 (x 0 ) existiert genau ein Lift ˜α : [0, 1] → ˜M von α mit
˜α(0) = ˜x 0 .
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