pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

2.2. Gruppentheorie
Sobald beide Faktoren nicht trivial sind, ist das freie Produkt zweier Gruppen nicht
abelsch, was direkt an den zwei Wörtern g 1 h 1 ̸= h 1 g 1 deutlich wird. Die Abelianisierung
hiervon ist allerdings interessant:
Lemma 2.29: Die Abelianisierung eines freien Produkts G 1 ∗ G 2 aus Gruppen G 1 , G 2 ist das
cartesische Produkt der abelianisierten Gruppen G1 ab × Gab 2 .
BEWEIS: Sei f : G 1 ∗ G 2 → G 1 × G 2 die durch Ausmultiplizieren erzeugte Abbildung,
also
(
f (g) = f (g 1 g 2 . . . g k ) =
)
∏ g i , ∏ g i .
g i ∈G 1 g i ∈G 2
Dann ist f mit Sicherheit ein Homomorphismus und surjektiv. Auch die Abbildung
ab : G 1 × G 2 → G1 ab × Gab 2
ist ein surjektiver Homomorphismus, und damit
ist f ab := ab ◦ f ebenfalls ein surjektiver Homomorphismus. Nach dem Homomorphiesatz
ist damit (G 1 ∗ G 2 )/ ker( f ab ) ∼ = im( f ab ) = G1 ab × Gab 2 .
❄
(G 1 ∗ G 2 )/ ker( f ab ) ✲ G ab
f
G 1 ∗ G 2
✲ G 1 × G 2
❍ ❍❍❍❍❍❍❥ f ab
∼=
ab
❄
1 × Gab 2
Es ist leicht zu zeigen, dass ker( f ab ) = [G 1 ∗ G 2 , G 1 ∗ G 2 ] ist.
Damit ist (G 1 ∗ G 2 ) ab = (G 1 ∗ G 2 )/[G 1 ∗ G 2 , G 1 ∗ G 2 ] ∼ = G ab
1 × Gab 2 .
Wir können mit diesem Lemma also solche freien Produkte auseinander halten, deren
Abelianisierungen sich in mindestens einem Faktor unterscheiden.
Damit schließen wir unsere kurzen Betrachtungen über freie Produkte ab und können
jetzt zu der Definition der Fundamentalgruppe übergehen.
27