pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 2. Grundlagen und Hilfsmittel
ϕ j
V j
U j
ϕ ij
M
U i
V i
Abbildung 2.1: Einige Begriffe aus der Definition einer topologischen Mannigfaltigkeit:
Der topologische Raum M wird lokal durch die Karten ϕ i und ϕ j trivialisiert.
Zwischen den Karten vermittelt der Kartenwechsel ϕ ij .
ϕ i
Definition 2.2 (glatte Mannigfaltigkeit): Ein (topologischer) Atlas A = (ϕ i ) i∈I einer
topologischen Mannigfaltigkeit M heißt glatt, wenn alle Übergangsfunktionen glatt
sind, ϕ ij ∈ C ∞ .
Zwei glatte Atlanten A = (ϕ i ) i∈I und B = (ϕ j ) j∈J heißen äquivalent, wenn ihre „Vereinigung“
A + B = (ϕ k ) k∈I+J (mit I + J die mengentheoretische, disjunkte Vereinigung
von I und J) ebenfalls ein glatter Atlas von M ist, d.h. wenn auch die neu
entstandenen Übergänge glatt sind.
Eine Äquivalenzklasse [A] von glatten Atlanten auf M heißt eine glatte Struktur auf
M.
Eine topologische Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer glatten Struktur [A] heißt
schließlich glatte Mannigfaltigkeit. Wenn für eine glatte Mannigfaltigkeit klar ist, welche
Struktur gemeint ist, oder wenn die Struktur keine große Rolle spielt, wird sie oft
nicht mit notiert.
Mit einer weitere Spezialisierung des Mannigfaltigkeitsbegriffes erhalten wir schließlich
solche Mannigfaltigkeiten, welche wir im Weiteren untersuchen werden.
Definition 2.3 (kompakte Mannigfaltigkeit): Eine Mannigfaltigkeit M ist kompakt,
wenn sie als topologischer Raum kompakt ist.
Eine weitere Art von Mannigfaltigkeit sind die so genannten berandeten Mannigfaltigkeiten.
Diese sind folgendermaßen definiert:
Definition 2.4: Ein zusammenhängender Hausdorff-Raum M mit abzählbarer Topologie
heißt eine n-dimensionale, berandete topologische Mannigfaltigkeit, wenn jeder
Punkt p ∈ M eine offene Umgebung U p besitzt, die homöomorph zu einer offenen
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