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Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
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Nun benötigen wir auf ˜M eine Topologie. Sei dazu α ein Weg mit Aufpunkt p 0 und
U eine offene Umgebung des Endpunktes q = α(1). Sei dann V(U, α) die Menge
V(U, α) = {[α ∗ β] : β Pfad in U, β(0) = α(1)}
Betrachte nun für α 1 und α 2 mit passenden Umgebungen U 1 und U 2 von den jeweiligen
Endpunkten den Durchschnitt D = V(U 1 , α 1 ) ∩ V(U 2 , α 2 ). Ist dieser Durchschnitt
nicht-leer, so sei α 3 ∈ D, d.h. es existieren β 1 und β 2 , so dass [α 3 ] = [α 1 ∗ β 1 ]
und [α 3 ] = [α 2 ∗ β 2 ] ist. Sei weiter U 3 = U 1 ∩ U 2 eine Umgebung von α 3 (1), dann
ist für jeden Pfad β 3 in U 3 mit Aufpunkt α 3 (1) auch [α 3 ∗ β 3 ] = [α 1 ∗ β 1 ∗ β 2 ] =
[α 1 ∗ (β 1 ∗ β 3 )] ∈ V(U 1 , α 1 ) und ebenso [α 3 ∗ β 3 ] ∈ V(U 2 , α 2 ). Da die Klassen
[α 3 ∗ β 3 ] aber genau die Menge V(U 3 , α 3 ) ausmachen, folgt
V(U 3 , α 3 ) ⊆ V(U 1 , α 1 ) ∩ V(U 2 , α 2 ).
Aus diesem Grund kann die Menge aller V(U, α) als Basis einer Topologie auf ˜M
benutzt werden.
Mit dieser Topologie ist aber gerade π : ˜M → M offen und stetig, da π(V(U, α))
gerade die Wegzusammenhangskomponente von U ist, die π(α) enthält.
Es ist jetzt zu zeigen, dass π auch eine Überlagerung ist. Sei dazu p ∈ M und U eine
offene Umgebung von p, in der jeder geschlossene Pfad nullhomotop in M ist (also
U eine einfach zusammenhängende Umgebung von p). Eine solche existiert gewiss
stets, da M eine Mannigfaltigkeit ist und z.B. ϕ −1 (B r (p)) eine solche Umgebung
darstellt. Das Urbild π −1 (U) enthält nun alle Klassen [α], wo α(1) in U liegt. Wir
konstruieren eine Bijektion U × π −1 (p) → π −1 (U): Für ein q ∈ U wähle Wege β 1
und β 2 von p nach q in U. Dann ist β 1 ∗ β −1
2
geschlossen in U, also sind β 1 ≃ β 2
homotop. Folglich sind auch α ∗ β 1 ≃ α ∗ β 2 homotop. Damit ist die Zuordnung
(q, [α]) ↦→ [α ∗ β] jedenfalls wohldefiniert. Da U wegzusammenhängend ist, ist sie
auch surjektiv. Aus folgendem Grund ist sie auch injektiv: Sei dazu [α 1 ∗ β 1 ] =
[α 2 ∗ β 2 ] mit Pfaden α 1 , α 2 von p 0 nach p und mit Pfaden β 1 von p nach q 1 sowie
β 2 von p nach q 2 . Dann ist sicher q 1 = q 2 und es ist wieder β 1 ∗ β −1
2
geschlossen in
U, also β 1 ≃ β 2 , also sind auch α 1 ≃ α 2 . Die Topologie von ˜M ist nun gerade so
gewählt, dass die gezeigte Bijektion U × π −1 (p) → π −1 (U) : (y, [α]) ↦→ [α ∗ β] ein
Homöomorphismus ist, und damit ist π eine Überlagerung.
Es fehlt nun nur noch zu zeigen, dass ˜M einfach zusammenhängend ist. Da π :
˜M → M eine Überlagerung ist, ist ˜M bereits lokal-wegzusammenhängend. Es ist
˜M auch wegzusammenhängend, denn ist qin ˜M gegeben, so wähle einen Weg α in
M mit [α] = q. Sei dann α t : [0, 1] → ˜M mit α t (s) = α(ts). Für jedes t ∈ [0, 1] wird
also α nur noch von α(0) bis α(t) durchlaufen (und entsprechend langsamer). Damit
ist α t ein Weg in ˜M von [α] nach [c α(0) ], also ist ˜M auch wegzusammenhängend.
Schließlich ist noch zu zeigen, dass jeder geschlossene Weg α in ˜M nullhomotop ist.
Da ˜M wegzusammenhängend ist reicht es aus, geschlossene Wege mit Aufpunkt
[c p0 ] zu betrachten, sei also α ein solcher geschlossener Weg. Dann ist π(α) ein geschlossener
Weg in (M, p). Diesen Weg können wir liften auf β ∈ π −1 (π(α)), so
dass β(0) = [c p0 ] ist, dann ist auch β(1) = [c p0 ]. Da der Endpunkt der Liftung β
aber gleichzeitig auch die Klasse [π(α)] ist, ist also π(α) nullhomotop in M, also
ist α nullhomotop in ˜M.