pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
Und schließlich möchten wir noch H mit π 1 (M) identifizieren:
Lemma 6.17: Die Abbildung π ∗ : π 1 ( ˜M) → π 1 (M) ist injektiv, und damit ist H ∼ =
π 1 (M).
BEWEIS: Sei dazu ˜α ein geschlossener Weg in ˜M, α = π ◦ ˜α und α ≃ c x0 . Da ˜α
ein Lift von α ist und c ˜x0 ein Lift von c x0 (beide mit Anfangspunkt ˜x 0 ) folgt, dass
˜α ≃ c ˜x0 gilt und somit π ∗ injektiv ist.
Nun haben wir alle notwendigen Sätze gesammelt und können uns daran wagen, die
überlagerten Mannigfaltigkeiten und ihre Fundamentalgruppe zu betrachten zu.
6.4 Überlagerungen, Mannigfaltigkeiten und die
Fundamentalgruppe
Wir werden also nun die von einer Operation erzeugten Äquivalenzklassen benutzen,
um eine neue Mannigfaltigkeit daraus zu machen:
Definition 6.18 (Bahnenraum): Sei Γ × M → M eine Operation einer Gruppe Γ auf
einer Mannigfaltigkeit M durch Diffeomorphismen. Man nennt dann den Quotienten
M/∼ mit der Äquivalenzrelation ∼ aus Definition 6.6 den Bahnenraum von M unter
Γ und schreibt M/Γ.
Dieses neu definierte Objekt M/Γ ist der entscheidende Trick: Wir erhalten aus einer
Mannigfaltigkeit und einer Gruppe ein neues Gebilde, das selbst wieder eine Mannigfaltigkeit
ist:
Satz 6.19: Sei Γ eine eigentlich diskontinuierliche Operation auf ˜M und π : ˜M → ˜M/Γ die
kanonische Projektion auf den Bahnenraum. Dann existiert auf ˜M/Γ eine differenzierbare
Struktur, so dass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist: Für eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit N ist eine Abbildung Φ : ˜M/Γ → N genau dann differenzierbar, wenn
Φ ◦ π differenzierbar ist.
˜M
Φ◦π
✠
N
✛
Φ
BEWEIS: Sei dazu p ∈ M = ˜M/Γ und ˜p ∈ π −1 (p). Dann gibt es eine zusammenhängende
und offene Umgebung Ũ ′˜p ⊆ ˜M von ˜p, so dass
π
❄
˜M/Γ
g(Ũ ′˜p) ∩ h(Ũ ′˜p) = ∅ für g, h ∈ Γ, g ̸= h.
Folglich existiert eine weitere zusammenhängende, offene Umgebung Ũ ˜p von ˜p,
so dass eine Karte
˜ϕ ˜p : Ũ ˜p → Ṽ˜p ⊆ R n
74