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Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten Die Sphäre S 2 ist bereits einfach zusammenhängend, so dass wir keine Überlagerung mehr finden müssen. Umgekehrt können wir jedoch S 2 als Dividend benutzen und eine eigentlich diskontinuierliche Operation suchen. Dazu müssten wir Untergruppen aus der Diffeomorphismengruppe Diff(S 2 ) auswählen und kontrollieren, dass die daraus erzeugte Operation eigentlich diskontinuierlich ist. An dieser Stelle werden wir mit einem weiteren Problem konfrontiert: Die Diffeomorphismengruppe der Sphäre ist eine riesige Gruppe. Jede kleine Verschiebung auf der Oberfläche der Sphäre fügt ein Element in diese Gruppe, die uns interessiert, hinzu. Daraus die „interessanten“, also eigentlich diskontinuierlich operierenden Untergruppen auszuwählen, ist schier unmöglich. Aus diesem Grund müssen wir uns erneut Einschränken auf eine besondere Art von Diffeomorphismen: Anstatt die Sphäre S 2 „nur“ als glatte Mannigfaltigkeit zu betrachten, definieren wir eine riemannsche Metrik g auf ihr, wir wählen also eine Art Abstandsbegriff auf der Sphäre, und damit wird (S 2 , g) zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit 3 . Im Allgemeinen wird für die Sphäre die Metrik gewählt, die von der topologischen Einbettung S 2 ⊆ R 3 induziert wird, und diese Mannigfaltigkeit dann als runde Sphäre bezeichnet. Damit haben wir aber auch automatisch eine Auswahl aus den Diffeomorphismen getroffen: Wir interessieren uns nur noch für solche Diffeomorphismen, die auch die Metrik respektieren, also solche, die Isometrien sind. Betrachten wir also die Gruppe SO(3) der Sphären-Isometrien: Jede Isometrie der runden Sphäre S 2 wird erzeugt von Rotationen um eine beliebig gewählte Achse durch den Ursprung und eine Spiegelung. Jede Rotation hat genau zwei Fixpunkte, so dass wir hiermit keine eigentlich diskontinuierliche Operation erzeugen können. Einzig die Spiegelung ist eine geeignete Operation. Daraus erhalten wir also Γ = {id, − id}. Bilden wir S 2 /Γ, so erhalten wir S 2 /Γ = PR 2 , den zweidimensionalen projektiven Raum. Dieser ist nicht orientierbar, und somit nicht weiter für uns von Interesse. Trotzdem, seine Fundamentalgruppe kennen wir nun: π 1 (PR 2 ) = (1, −1) ≃ Z 2 . Auch die verbleibenden Mannigfaltigkeiten Σ g für g ≥ 2 erhalten wir als einen Quotienten aus einer riemannschen Mannigfaltigkeit und einer Untergruppe der Isometriengruppe. Satz 6.26: Für jedes g ≥ 2, g ∈ N, gibt es eine Untergruppe Γ ⊆ Isom(H 2 ) der Isometriengruppe der hyperbolischen Ebene H 2 , so dass gilt (Ohne Beweis.) Σ g = H 2 /Γ. Auch hier können wir nicht genauer darauf eingehen, was der hyperbolische Raum und seine Isometriengruppe sind (siehe [1]). Damit haben wir erneut alle Flächen gefunden und schließlich genügend Werkzeuge und Erfahrungen gesammelt, um uns endlich den dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten zuwenden zu können. 3 Mehr zu riemannschen Mannigfaltigkeit in Kapitel 9 und in diversen Büchern und Skripten zu diesem 80 Thema, z.B. [5].
7 Sphären, Tori und Summen der Dimension 3 Wir haben inzwischen einige Dinge gelernt über Mannigfaltigkeiten der Dimension 3 und ihre Konstruktionsmöglichkeiten. Parallel zum Verlauf in Kapitel 5 können wir nun ausprobieren, wie weit wir mit den bisher gesammelten Techniken kommen. Dazu verschaffen wir uns zuerst einen Überblick über die Mannigfaltigkeiten, die wir bereits kennen und wenden darauf die Techniken an, die wir in den vorangegangenen Kapitel gelernt haben, also zusammenhängende Summen und Quotientenbildung. Die entstehenden Mannigfaltigkeiten werden wir auf ihre Fundamentalgruppe untersuchen und schließlich herausfinden, welche Menge von Mannigfaltigkeiten wir gefunden haben. 7.1 Einfache Mannigfaltigkeiten • Die erste und eine der wichtigsten Mannigfaltigkeiten ist die bereits bekannte S 3 . Sie ist einfach zusammenhängend, hat also triviale Fundamentalgruppe π 1 (S 3 ) = (1). • Eine weitere, ebenfalls bereits definierte Mannigfaltigkeit ist der Torus T 3 , zu welchem sich die Fundamentalgruppe leicht aus der Definition T 3 = S 1 × S 1 × S 1 ergibt als π 1 (T 3 ) = Z 3 . • Es gibt allerdings noch eine weitere Möglichkeit, einen „Torus“ zu bauen, nämlich als S 2 × S 1 , welcher im Folgenden Y 1 := S 2 × S 1 heißen soll 1 . Wie man sieht, erhalten wir hier als Fundamentalgruppe π 1 (S 2 × S 1 ) = Z. Benutzen wir also diese drei Mannigfaltigkeiten als Grundbausteine, so erhalten wir bereits viele neue Mannigfaltigkeiten. In Abschnitt 9.1 werden wir außerdem sehen, welche Bausteine noch verwendet werden können. T 2 × S 1 S 2 × S 1 7.2 Summen einfacher Mannigfaltigkeiten und deren Unterscheidung Bevor wir uns zusammenhängende Summe von 3-Mannigfaltigkeiten betrachten können, müssen wir sicherstellen, dass die Fundamentalgruppe korrekt verfolgt wird. Dazu müssen wir wissen, was π 1 (M\{pt}) ist für dreidimensionale M. 1 Das Zeichen Y ist ein großes, griechisches Ypsilon. Es wurde gewählt als Nachfolger des griechischen Tau und wird nicht allgemein in diesem Zusammenhang benutzt. 81
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Über die Klassizierung dreidimensi
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Danksagungen Ich bedanke mich bei m
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 11
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Kapitel 1. Einführung sinnvoll, je
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2 Grundlagen und Hilfsmittel In die
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2.1. Mannigfaltigkeiten Menge Ṽ p
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2.1. Mannigfaltigkeiten Eine Abbild
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2.1. Mannigfaltigkeiten (a) Das tri
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2.1. Mannigfaltigkeiten 2.1.3 Einig
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2.2. Gruppentheorie gibt. Die erste
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2.2. Gruppentheorie Sobald beide Fa
Seite 30 und 31: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe g
Seite 32 und 33: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe De
Seite 34 und 35: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe β
Seite 36 und 37: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe Wi
Seite 38 und 39: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe 3.
Seite 40 und 41: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe Ab
Seite 42 und 43: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe Da
Seite 44 und 45: Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe un
Seite 46 und 47: Kapitel 4. Zusammenhängende Summe
Seite 59 und 60: 5 Die Theorie der Flächen Mit den
Seite 61 und 62: muss: Z ↦→ F(a 1 , b 1 , a 2 ,
Seite 63: Σ 0 = S 2 Σ 1 = T 2 Σ 2 Σ 3 . .
Seite 66 und 67: Kapitel 6. Quotienten von Mannigfal
Seite 82 und 83: Kapitel 7. Sphären, Tori und Summe
Seite 90 und 91: Kapitel 8. Zusammenhängende Summen
Seite 92 und 93: Kapitel 8. Zusammenhängende Summen
Seite 95 und 96: 9 Das Thurstonprogramm Mit Hilfe de
Seite 97: Literaturverzeichnis [1] Jeff Cheeg
Seite 100: Index Metrik, riemannsche, 80 Model
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