pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Eine der grundlegenden Fragen der Differenzialgeometrie ist die folgende: Welche
Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension existieren und wie kann zwischen diesen
unterschieden werden? Die gängige Definition der Gleichheit zweier Mannigfaltigkeiten
mittels der Existenz eines Diffeomorphismus ist zwar intuitiv und naheliegend,
in konkreten Fällen aber nur sehr schwer anzuwenden; schwieriger noch ist der Beweis,
dass kein solcher Diffeomorphismus existieren kann.
Die Fundamentalgruppe ist ein Hilfsmittel, um diese Unterscheidung zu erleichtern.
Dabei wird jeder Mannigfaltigkeit eine Gruppe zugeordnet, welche sich unter Diffeomorphismen
nicht verändert. Findet man nun für zwei Mannigfaltigkeiten Fundamentalgruppen,
welche nicht isomorph sind, so kann es auch keinen Diffeomorphismus
zwischen diesen Mannigfaltigkeiten geben. Die Definition der Fundamentalgruppe sowie
dazugehörige Sätze und Eigenschaften sind ein erster Bestandteil dieser Arbeit.
Die Klassifizierung der dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten im Thurstonprogramm
sieht vor, dass mittels dreier Konstruktionsmechanismen Mannigfaltigkeiten hergestellt
werden. Diese drei Methoden sind: Quotientenbildung, zusammenhängende Summe
entlang Sphären und zusammenhängende Summe entlang Tori. Diese drei Methoden
werden in dieser Arbeit vorgestellt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften bezüglich der
Fundamentalgruppe untersucht. Wir werden zeigen können, dass für jedes der drei
Verfahren im Prinzip die Fundamentalgruppe bestimmbar ist, so dass abschließend
(prinzipiell) für jede 3-Mannigfaltigkeit die Fundamentalgruppe bestimmbar bleibt.