pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

3.1. Homotopie
Indem wir also von einer Fundamentalgruppe π 1 (X, p) mittels einer Verknüpfung von
Pfaden (siehe auch Abb. 3.6) zu einer isomorphen Gruppe π 1 (X, q) übergehen, können
wir den Aufpunkt in einer Zusammenhangskomponente beliebig wählen, sofern es bei
der Unterscheidung von Gruppen nur um Isomorphie geht.
Definition 3.19: Wir nennen daher die punktierte Fundamentalgruppe π 1 (X, p) auch
einfach π 1 (X), wenn die gewünschte Wegzusammenhangskomponente klar ist. Für
Mannigfaltigkeiten, die in Definition 2.11 als zusammenhängend definiert wurden
und für die die Begriffe zusammenfallen, ist dies also immer der Fall.
Besonders einfache Räume, solche in denen die Fundamentalgruppe trivial ist, bekommen
einen speziellen Namen, welcher beispielsweise auch in der Funktionentheorie
zur Anwendung kommt.
Definition 3.20: Ein wegzusammenhängender Raum X, in dem jeder geschlossene
Weg nullhomotop ist, heißt einfach zusammenhängend. In diesem Fall ist also
π 1 (X) = (1).
Diese Bezeichnung geht zurück auf Riemann, der noch nicht die Definitionen der modernen
Topologie zur Verfügung hatte und somit andere Begriffe wählen musste. Riemann
definierte für Flächen den Begriff des n-fachen Zusammenhangs einer Oberfläche
als die maximale Anzahl von Kreisen, an denen eine Oberfläche aufgeschnitten werden
kann, ohne in zwei Teile zu zerfallen, plus eins (siehe dazu auch [4, Chapter 9]). Zum
Beispiel zerfällt ein Torus erst beim zweiten Schnitt in zwei Teile, er ist also zweifach
zusammenhängend. Andererseits zerfällt eine Kugel durch jeden einzelnen Schnitt in
zwei Teile, ist also einfach zusammenhängend im Sinne von Riemann. Dass dies auch mit
Abbildung 3.7: Torus und Sphäre unterscheiden sich durch den Grad des Zusammenhangs.
Während eine Kugel durch jeden vollen Kreis in zwei Teile geschnitten
wird, passiert dies beim Torus nicht für alle Kreise.
unserem Begriff übereinstimmt, werden wir in Abschnitt 4.3 beweisen.
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