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3.5. Die Fundamentalgruppe des Kreises
Mit der anderen Klasse Mannigfaltigkeiten, die wir bereits definiert haben, können wir
nun aber leicht umgehen:
Satz 3.26: Die Fundamentalgruppe des Torus T n , n ≥ 2, ist nicht trivial,
Insbesondere sind also S n ̸∼ = T n für n ≥ 2.
π 1 (T n ) = Z n .
BEWEIS: Der Torus T n kann geschrieben werden als T n = S 1 × · · · × S 1 = (S 1 ) n .
Nach Satz 3.22 und Satz 3.24 folgt bereits, dass
( n
π 1 (T n ) = π 1 (S )) 1 = Z n .
(a) Der Torus T 2 = S 1 × S 1 als
exemplarische Darstellung der
beiden S 1 .
(b) Eine Darstellung mit mehreren
Vertretern der S 1 .
(c) Die schließlich entstehende
Fläche.
Abbildung 3.9: Die Bausteine des Torus, aus denen sich die Fundamentalgruppe zusammensetzt.
3.5 Die Fundamentalgruppe des Kreises
Lemma 3.27: Sei ex : R → S 1 , t ↦→ e 2πit , wobei S 1 mit dem Einheitskreis in C identifiziert
wird. Für jede stetige Abbildung f : S 1 → S 1 gibt es genau eine stetige Abbildung ϕ :
[0, 1] → R mit ϕ(0) = 0 und f (e 2πit ) = f (1) · e 2πiϕ(t) , also f ◦ ex = f (1) · (ex ◦ϕ).
BEWEIS: Benutze den Hauptzweig des komplexen Logarithmus,
log : {z ∈ C : Im(z) ̸= 0 oder Re(z) > 0} → C, log(re iα ) = ln(r) + iα
wo α ∈ (−π, π), also exp ◦ log = id. Weiter benutze die Periodizität der Exponentialabbildung:
exp(z) = 1 ⇔ z ∈ 2πi · Z, sowie exp(z + w) = exp(z) · exp(w).
Eindeutigkeit: Ist f (1) · ex ◦ϕ = f (1) · ex ◦ψ, so ist exp(2πi(ϕ(t) − ψ(t))) = 1,
und folglich ϕ(t) − ψ(t) ∈ Z für alle t ∈ [0, 1]. Wegen ϕ(0) = ψ(0) = 0 und der
Stetigkeit von ϕ − ψ folgt, dass ϕ − ψ = 0 für alle t ∈ [0, 1], also ϕ = ψ.
Die Existenz folgt aus dem folgenden Argument: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
gilt f (1) = 1 (denn sonst gehe zu g(z) = f (1) −1 · f (1) über). Da f gleichmäßig
stetig ist, existiert eine Unterteilung 0 = t 0 < · · · < t k = 1 von [0, 1], so dass
für h := f ◦ ex : [0, 1] → S 1 gilt:
|h(t) − h(t j )| < 2 für t ∈ [t j , t j+1 ], j = 0, . . . , k − 1.
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