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Kapitel 9. Das Thurstonprogramm Die Geometrisierungsvermutung beinhaltet also, dass durch den dargestellten Prozess tatsächlich alle existierenden 3-Mannigfaltigkeiten hergestellt werden. Dieses Ergebnis ist mehr als erstaunlich; es enthält mehrere andere benannte Ergebnisse als Spezialfälle. Beispielsweise besagt die Poincaré-Vermutung, dass eine (kompakte, randlose, orientierbare) 3-Mannigfaltigkeit genau dann triviale Fundamentalgruppe hat, wenn sie die Sphäre S 3 ist. Das heißt, in der Sprache unseres Algorithmus „terminiert“ die Poincaré-Vermutung bereits nach dem ersten Schritt: Wir wählen nur eine einzige Modellgeometrie und wenden keinen der weiteren Schritte an. Auch die Hyperbolisierungsvermutung und die Elliptisierungsvermutung sind auf ähnliche Weise Spezialfälle der Geometrisierungsvermutung: stets wird auf eine Menge von Geometrien und Werkzeugen eingeschränkt, so dass der Algorithmus nicht komplett durchlaufen wird, sondern nur Teile benutzt werden. Mit dem Beweis des Theorems 2003 durch Grisha Perelman [10] wurde also unter Anderem gleichzeitig die seit 1904 offene Poincaré-Vermutung bewiesen. Sie war eines der sieben „Millenium Problems“, auf deren Lösung die Clay Mathematical Foundation eine Million US-Dollar ausgesetzt hatte – und ist das bisher einzige der sieben Probleme, das gelöst werden konnte. 9.1 Die Modellgeometrien Die Modellgeometrien selbst sind nichts Anderes als bestimmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten, also solche Mannigfaltigkeiten, die eine Riemannsche Metrik tragen. Diese Metrik definiert dabei Abstände und Winkel auf der Mannigfaltigkeit, erzeugt also genau eine Geometrie auf der Mannigfaltigkeit. Wie sich herausstellte, sind für die Erfüllung der Thurstonvermutung gerade einmal acht Geometrien notwendig. • Der euklidische Raum R 3 mit der flachen Metrik. • Die runde Sphäre S 3 mit der runden Metrik. • Den hyperbolischen Raum H 3 mit der hyperbolischen Metrik. • Die Produktmannigfaltigkeit S 2 × R mit der induzierten Metrik. • Die Produktmannigfaltigkeit H 2 × R mit der induzierten Metrik. • Nil • Sol • SL(2, ˜ R), die universelle Überlagerung der speziellen linearen Gruppe SL(2, R). Dabei stellen die ersten drei genannten Geometrien (R 3 , S 3 und H 3 ) solche mit konstanter Schnittkrümmung dar; die folgenden zwei (S 2 × R und H 2 × R) stellen Geometrien aus Produkten dar; und die letzten drei (Nil, Sol und SL(2, ˜ R)) schließlich stellen Geometrien aus Liegruppen dar. Der Beweis, dass diese acht Modellgeometrien ausreichen sowie die Geometrien selbst stellen das Thema zahlreicher weiterführender Arbeiten dar, siehe z.B. [13]. Insgesamt konnten wir damit also einen enorm weitreichenden Überblick über die zur Klassifizierung der 3-Mannigfaltigkeiten notwendigen Sätze und Methoden geben. 96
Literaturverzeichnis [1] Jeff Cheeger and David G. Ebin. Comparison Theorems in Riemannian Geometry. North-Holland Publishing Company, 1975. [2] William Fulton and Joe Harris. Representation Theory, volume 129 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1991. [3] Allen Hatcher. Notes on basic 3-manifold topology. Private Online- Veröffentlichung, http://www.math.cornell.edu/˜hatcher/#3M. [4] Morris W. Hirsch. Differential Topology. Springer-Verlag New York, 1976. [5] Jürgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer, 1995. [6] W. Lickorish. An Introduction to Knot Theory. Springer, Berlin, 1997. [7] Frank Loose. Vorlesung Algebraische Geometrie. (unveröffentlicht). [8] William S. Massey. A Basic Course in Algebraic Topology. Springer, 1991. [9] Kurt Meyberg. Algebra, Teil 1. Fachbuchverlag Leipzig, 1990. [10] Grisha Perelman. Finite extinction time for the solutions to the ricci flow on certain three-manifolds, 2003. [11] K. Reidemeister. Homotopieringe und Linsenräume. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 11:102–109, 1935. [12] Claus Michael Ringel. Topologie I, II, III, Seminar - SS 2003, WS 2003/04, SS 2004, Leitfaden. Private Online-Veröffentlichung, http://www.math.unibielefeld.de/birep/top/. [13] Peter Scott. The geometries of 3-manifolds. Bull. London Math. Soc., 15:401–487, 1983. [14] Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish, Inc., 1999. [15] William P. Thurston. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Am. Math. Soc., New Ser., 6:357–379, 1982. 97
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Über die Klassizierung dreidimensi
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Danksagungen Ich bedanke mich bei m
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 11
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Kapitel 1. Einführung sinnvoll, je
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2 Grundlagen und Hilfsmittel In die
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2.1. Mannigfaltigkeiten Menge Ṽ p
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2.1. Mannigfaltigkeiten Eine Abbild
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2.2. Gruppentheorie gibt. Die erste
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Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe g
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Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe β
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Seite 82 und 83: Kapitel 7. Sphären, Tori und Summe
Seite 90 und 91: Kapitel 8. Zusammenhängende Summen
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Seite 95: 9 Das Thurstonprogramm Mit Hilfe de
Seite 100: Index Metrik, riemannsche, 80 Model
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