pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 7. Sphären, Tori und Summen der Dimension 3
Lemma 7.1: Sei M eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit und pt ∈ M ein Punkt. Dann
ist
π 1 (M\{pt}) = π 1 (M).
BEWEIS: Sei dazu U ⊆ M eine offene Umgebung von pt, die diffeomorph zu B 3
ist. Dann ist M = (M\{pt}) ∪ U, und U und M\{pt} erfüllen die Voraussetzungen
des Satzes 4.5 von Seifert-van Kampen, wir erhalten also:
π 1 (M) = π 1 (M\{pt}) ∗ π 1 (U)/π 1 (B 3 \{pt}).
Nun ist U homotopieäquivalent zu B 3 , also π 1 (U) = π 1 (B 3 ) = (1); und B 3 \{pt}
ist homotopieäquivalent zu S 2 , also π 1 (B 3 \{pt}) = π 1 (S 2 ) = (1). Damit ergibt
sich:
π 1 (M) = π 1 (M\{pt}) ∗ (1)/(1) = π 1 (M\{pt}).
Die zusammenhängende Summe zweier Mannigfaltigkeiten der Dimension 3 ist also
einfacher als die zusammenhängende Summe in Dimension 2.
7.2.1 Tori
Im Wesentlichen verhalten sich der Torus und seine Summen in Dimension 3 wie die
Cousins aus Dimension 2, mit dem angenehmen Unterschied, dass die Fundamentalgruppen
einfacher sind.
.
Σ ′ 2
#
Σ ′ 3
#
#
.
Abbildung 7.1: Zusammenhängende Summen verschiedener Tori ergeben eine Folge
von einfachen 3-Mannigfaltigkeiten Σ ′ g, die der Abfolge der Flächen aus
Kapitel 5 ähnlich ist.
Wir erhalten also als Summen von Tori die Mannigfaltigkeiten T 3 # T 3 , T 3 # T 3 # T 3 ,
. . . . Bezeichnen wir diese mit Σ ′ g, so berechnen sich deren Fundamentalgruppen als
π 1 (Σ ′ g) = (Z 3 ) ∗g . Bezeichnen wir zusätzlich die Sphäre als Σ ′ 0 := S3 und den Torus als
Σ ′ 1 := T3 , so erhalten wir eine Sequenz von Mannigfaltigkeiten, die als nahe Verwandte
der Flächen dastehen.
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