pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe
g = H 1
s
s
1
H 5/6
H 2/3
f = H 0
H 1/2
H 1/3
0
H 1/6
1
t
Abbildung 3.1: Eine Homotopie zweier Pfade verschiebt die Punkte des einen Pfades
f = H 0 entlang der Wege α t (s) = H s (t) von H 0 nach g = H 1 . Die
Homotopie H ist auf [0, 1] × [0, 1] definiert.
Homotopien von Pfaden, wie sie in 3.1.1 definiert wird, der Variablenname t schon als
Zeitparameter für den Pfad verwendet wird; siehe hierzu auch 3.1.
Benennt man andererseits für jedes s ∈ [0, 1] die Abbildung h s : X → Y : h s (x) =
H(x, s), so erhält man die zeitlichen „Zwischenstufen“ der Homotopie. Man bezeichnet
dann auch die (stetige) Familie (h s ) s∈[0,1] als Homotopie von f nach g.
Die Bedeutung der Homotopie zeigt sich darin, dass sie stetige Funktionen zu Äquivalenzklassen
zusammenfasst:
Lemma 3.2: Die Homotopierelation „≃“ ist auf C(X, Y) = { f : X → Y stetig} eine
Äquivalenzrelation.
BEWEIS: Die bekannten drei Eigenschaften von Äquivalenzrelationen sind zu zeigen:
• Es ist f ≃ f via der konstanten Homotopie H f (x, t) = f (x).
• Für f ≃ g mit der Homotopie H ist die umgekehrt durchlaufene Abbildung
H(x, 1 − t) eine Homotopie von g nach f , also g ≃ f .
• Seien f ≃ g mittels H und g ≃ h mittels H ′ . Dann ist die Abbildung
{ H(x, 2t) für 0 ≤ t ≤
1
˜H(x, t) =
2
H ′ (x, 2t − 1) für 1 2 < t ≤ 1
stetig, da H(x, 1) = H ′ (x, 0) ist für alle x ∈ X. Damit ist ˜H eine Homotopie
von f nach h, und somit f ≃ h.
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