pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 2. Grundlagen und Hilfsmittel
Eine glatte Abbildung s : M → TM mit π ◦ s = id M heißt ein globaler Schnitt von M
in TM. Die Menge aller glatten Schnitte in TM wird bezeichnet mit
Γ(M, TM) := {s : M → TM, s glatter Schnitt}.
Diese Menge trägt eine Vektorraumstruktur (ohne Beweis).
Es gibt in Γ(M, TM) einen einzigen ausgezeichneten globalen Schnitt, den Nullschnitt
p ↦→ 0 p . Ein Schnitt s ∈ Γ(M, TM) heißt nullstellenfrei, falls s(p) ̸= 0 p für
alle p ∈ M.
E
s
0
π
M
Abbildung 2.4: Schematische Darstellung eines Vektorraumbündels π : E → M über
einer glatten Mannigfaltigkeit M mit dem Nullschnitt und einer Orientierung
s.
Wir haben damit also eine Art erweiterte „Funktionen“ definiert, die von M in ein
„Bündel“ von Vektorräumen gehen. Ist dieses Bündel trivial, also diffeomorph zu R ×
M, so ist diese Identifikation sogar eindeutig.
Definition 2.10 (Orientierbarkeit einer glatten Mannigfaltigkeit): Eine glatte Mannigfaltigkeit
M heißt orientierbar, falls ein nullstellenfreier globaler Schnitt s : M →
TM existiert. Jeder solche Schnitt s heißt dann eine Orientierung von M.
Eine orientierbare Mannigfaltigkeit (M, s) zusammen mit einer Orientierung s heißt
eine orientierte Mannigfaltigkeit.
Das Tangentialbündel einer orientierbaren Mannigfaltigkeit ohne den Nullschnitt zerfällt
damit in zwei Teile, was eine äquivalente Definition der Orientierbarkeit darstellt.
Natürlich sind damit die Themen der Tangentialräume, Bündel und Orientierungen
nur im Kürzesten angeschnitten. Für eine vollständigere und ausführlichere Betrachtung
verweisen wir auf die Literatur (siehe z.B. [14]).
Nun können wir schließlich definieren, was mir mit dem einfachen Begriff „Mannigfaltigkeit“
bezeichnen:
Definition 2.11 (Mannigfaltigkeit): Eine glatte Mannigfaltigkeit (M, S) mit Struktur
S, die kompakt und orientierbar ist, wird schlicht als Mannigfaltigkeit bezeichnet,
wenn die Struktur aus dem Kontext klar ersichtlich ist.
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