pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

2.1. Mannigfaltigkeiten
Eine Abbildung ξ : E p (M) → R heißt eine Derivation auf E p (M), wenn sie folgende
Eigenschaft erfüllt: Für zwei Keime f p , g p ∈ E p (M) gilt:
ξ( f p g p ) = ξ( f p ) · g p (p) + f p (p) · ξ(g p ).
Ein Funktionskeim repräsentiert die Funktion und alle ihre Ableitungen „in einem
Punkt“. Da aber Ableitungen nur auf einer Umgebung um einen Punkt definiert sind,
muss stets eine kleine Umgebung um den Punkt vorhanden sein, die aber beliebig klein
sein darf. Die Funktionskeime erben alle notwendigen Operationen von ihren erzeugenden
Funktionen, E p (M) ist eine R-Algebra (siehe [14]).
Die von den Derivationen geforderte Eigenschaft ist eine Art erweiterte Leibnizregel,
wir erwarten also, dass sich Derivationen wie eine Art verallgemeinerte Ableitungen
verhalten. In der Tat kann jede Derivation auch als eine Ableitung eines Pfades auf der
glatten Mannigfaltigkeit interpretiert werden: α : (−ε, ε) → M ein Pfad durch p, dann
ist f p ↦→ d ∣
dt t=0
( f ◦ α)(t) eine Derivation; und umgekehrt existiert für jede Derivation
eine solche Kurve α. Die Derivationen stellen dann die Tangentialvektoren an eine
glatte Mannigfaltigkeit dar.
Definition 2.7 (Tangentialraum an einen Punkt): Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit,
p ∈ M. Die Menge der Derivationen von E p (M) nach R bildet den Tangentialraum
von M im Punkt p, der bezeichnet wird durch
TM p = Der(E p (M), R) = {ξ : E p (M) → R : ξ Derivation}.
Die Tangentialvektoren bilden punktweise einen Vektorraum.
Lemma 2.8: Der Tangentialraum TM p an eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit M
im Punkt p ist ein Vektorraum der Dimension n.
(Ohne Beweis.)
Nun müssen wir diese punktweisen Tangentialräume noch so aneinander legen, dass
wir den Tangentialraum an eine glatte Mannigfaltigkeit bekommen. Dieser wird allerdings
kein Vektorraum mehr sein können, sondern „nur“ eine glatte Mannigfaltigkeit
mit einer speziellen Struktur.
Definition 2.9 (Tangentialbündel einer glatten Mannigfaltigkeit): Zu einer glatten
Mannigfaltigkeit M setzen wir als mengentheoretische Summe
sowie
TM := ∑ TM p
p∈M
π : TM → M : π(ξ) = p :⇔ ξ ∈ TM p
so heißt π : TM → M das Tangentialbündel von M.
Das Tangentialbündel TM ist ein sog. Vektorraumbündel und trägt selbst wieder eine
glatte Mannigfaltigkeitsstruktur (ohne Beweis).
19