pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

6.2. Operationen
Faser von p
˜M
Ũ
π : ˜M → M
U
p
M
Abbildung 6.2: Schematische Darstellung der Definition von Überlagerung anhand einer
Überlagerung der (berandeten) Mannigfaltigkeit [0, 1] × S 1 . Nimmt
man an, dass ˜M einfach zusammenhängend ist, also unendlich nach
unten und oben fortgesetzt wird, so handelt es sich hier um eine universelle
Überlagerung.
„großer“ Raum ˜M so „zusammengefaltet“ werden kann, dass ein kleinerer Raum M
dabei herauskommt.
Der genaue Vorgang, mittels welchem dies erreicht wird, ist wie folgt:
Definition 6.5 (Operation auf einem top. Raum): Sei X ein topologischer Raum und
Γ eine Gruppe. Diese Gruppe heißt topologische Gruppe, wenn Γ zusätzlich zur Gruppeneigenschaft
eine topologische Struktur trägt, so dass die Gruppenoperation und
die Inversenbildung stetig sind.
Für eine solche topologische Gruppe heißt eine stetige Abbildung
Φ : Γ × X → X : (g, x) ↦→ g.x
eine Operation durch Homöomorphismen auf X, wenn gilt:
• 1.x = x für alle x ∈ X.
• (gh).x = g.(h.x) für alle g, h ∈ Γ und alle x ∈ X.
Es ist leicht zu zeigen, dass jedes einzelne Gruppenelement g ∈ Γ durch einen Homöomorphismus
Φ g : X → X : x ↦→ g.x wirkt. Die Umkehrung von Φ g ist dann Φ g −1,
also
Φ g Φ g −1(x) = g.(g −1 .x) = (gg −1 ).x = id X (x),
und ebenso ist Φ g −1 ◦ Φ h = id X .
Da wir im weiteren Verlauf aber hauptsächlich an Mannigfaltigkeiten interessiert sind,
spezialisieren wir die Definition einer Operation auf Mannigfaltigkeiten. Dies hat den
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