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Kapitel 8. Zusammenhängende Summen entlang eingebetteter Tori
Definition 8.2: Seien M 1 und M 2 zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension n ≥ 3.
Es seien V i ⊆ M i (i = 1, 2) eingebettete Volltori, das heißt, ψ i : V n → V i seien
Diffeomorphismen (i = 1, 2). Weiter bezeichne T i = ∂V i = ψ i (∂V n ) die Ränder der
eingebetteten Tori. Dann heißt
M 1 ## ψ1 ,ψ 2
M 2 = (M 1 \ ˚T 1 ) + (M 2 \ ˚T 2 )/ ∼
die zusammenhängende Summe entlang der Tori V 1 und V 2 .
Unsere Anschauung des Prozesses kann von der zusammenhängenden Summe aus
Kapitel 4 übernommen werden: eine Mannigfaltigkeit wird entlang eines Torus aufgetrennt
und mit einer zweiten, die ebenfalls entlang eines eingebetteten Torus aufgetrennt
wurde, an den Schnittstellen verklebt. Im Gegensatz zu der Verbindung entlang
Sphären hängt jedoch hier die entstehende Mannigfaltigkeit von der Wahl der Einbettung
ab; während es im Wesentlichen eine einzige eingebettete Sphäre gibt (da jede
zwei Sphären durch eine Isotopie ineinander überführt werden können), gibt es im
Allgemeinen verschiedene, nicht-isotope Einbettungen des Volltorus in einer Mannigfaltigkeit
(ein Beispiel werden wir in 8.1.1 sehen).
Es ist schwierig, von diesem Prozess ein Diagramm zu erstellen, denn die zusammenhängende
Summe entlang Tori benötigt Mannigfaltigkeiten der Dimension n ≥ 3. Dies
rührt daher, dass der kleinste Torus T 2 von Dimension 2 ist, während die kleinste Sphäre
S 1 nur Dimension 1 hat. Wir müssen hierfür also leider auf eine korrekte Darstellung
verzichten.
Auch das Vorgehen ist ähnlich wie im einfacheren Fall:
Lemma 8.3: Die zusammenhängende Summe zweier Mannigfaltigkeiten entlang zweier Tori
ist selbst wieder eine Mannigfaltigkeit.
BEWEIS: Analog zum Beweis von 4.2.
Und auch die Kommutativität bleibt erhalten.
Lemma 8.4: Die Verknüpfung # ψ1 ,ψ 2
ist kommutativ, d.h. es ist
(Ohne Beweis.)
M 1 # ψ1 ,ψ 2
M 2
∼ = M2 # ψ2 ,ψ 1
M 1 .
Es bleibt schließlich noch, die Fundamentalgruppe der neu gebauten Mannigfaltigkeit
zu bestimmen. Dies ermöglicht uns wieder der Satz von Seifert-van Kampen, wobei
diesmal die Schnittmenge zwischen den beiden Mengen eine Mannigfaltigkeit Z, die
homotopieäquivalent zu T n ist, sein wird.
Formal betrachtet man dazu M 1 \ ˚T 1 als homotopieäquivalent zu einem U und M 2 \ ˚T 2
als homotopieäquivalent zu einem V, so dass U ∩ V homotopieäquivalent zu T n−1 ist.
Dann ergibt sich die Fundamentalgruppe aus dem Satz von Seifert-van Kampen wie
folgt:
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