pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

4.1. Summen von Mannigfaltigkeiten
B
˜p
Ũ
j i : M i → M
B i
p
U
M
˜ϕ : Ũ → V
M i
ϕ : U → V
R n
V
Abbildung 4.2: Karten in den Bereichen von M, die komplett aus M 1 oder M 2 stammen,
können direkt aus den Karten von M 1 bzw. M 2 übernommen werden.
Es ist offensichtlich, dass für jeden Punkt ˜p ∈ M i \B i eine Karte existiert, die den
Rand S i nicht schneidet (für i = 1, 2). Da j 1 und j 2 sogar Homöomorphismen sind,
sind diese Karten in M i somit auch Karten in M (siehe auch Abb. 4.2).
Wir benötigen also noch Karten um Punkte p ∈ S, also solche Punkte, dass q i ∈ M i
mit j i (q i ) = p und q i ∈ S i existieren.
Seien dafür ϕ 1 : U 1 → V 1 ⊆ R n eine Karte um q 1 und ϕ 2 : U 2 → V 2 ⊆ R n eine
Karte um q 2 , also U i Umgebungen von q i ; und diese Karten seien so, dass V 1 =
V 2 = ˚B n ⊆ R n ist und dass ϕ 1 (U 1 \B 1 ) = B n +, ϕ 2 (U 2 \B 2 ) = B n − und schließlich
noch j 1 ◦ ϕ 1 ◦ ψ 1 (ξ) = j 2 ◦ ϕ 2 ◦ ψ 2 (ξ) ist für alle ξ ∈ S n−1 ∩ ψ −1
1 (U 1) ∩ ψ2 −1(U
2).
Man kann sich davon überzeugen, dass solche Karten existieren, da an jeder Stelle
Diffeomorphismen zwischengeschaltet werden können, um die benötigten Eigenschaften
zu erreichen. Wir benötigen∣noch eine weitere ∣ Eigenschaft, nämlich dass
j 1 (U 1 ∩ S 1 ) = j 2 (U 2 ∩ S 2 ) und j 1 ◦ ϕ ∣U1 1 = j
∩S 2 ◦ ϕ ∣U2 2 ist, und auch dies kann
1
∩S 2
durch Zwischenschalten von Diffeomorphismen erreicht werden. Man setzt dann
U := j 1 (U 1 \B 1 ) ∪ j 1 (U 1 ∩ S 1 ) ∪ j 2 (U 2 \B 2 )
und
⎧
⎨ ϕ 1 ◦ j −1
1 (x) x ∈ j 1(U 1 \B 1 )
ϕ(x) := ϕ
⎩ 1 ◦ j −1
1 (x) = ϕ 2 ◦ j2 −1(x)
x ∈ j 1(U 1 ∩ S 1 ) = j 2 (U 2 ∩ S 2 )
ϕ 2 ◦ j2 −1(x)
x ∈ j 2(U 2 \B 2 )
.
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