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Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe
und ϕ 0 , ϕ 1 : [0, 1] → R so dass ϕ 0 (0) = ϕ 1 (0) = 0 und f i ◦ ex = ex ◦ϕ i ist für
i = 1, 2. Wegen ϕ 0 (1) = deg( f 0 ) = deg( f 1 ) = ϕ 1 (1) ist auch für
ϕ s (t) = (1 − s)ϕ 0 (t) + sϕ 1 (t)
stets ϕ s (1) = ϕ s (0) ∈ Z für alle s ∈ [0, 1]. Folglich existiert ein stetiges Φ : S 1 ×
[0, 1] → R mit
Φ(ex(t), s) = ϕ s (t).
Die Zusammenhänge sind im folgenden Diagramm verdeutlicht:
(t,s)↦→ϕ s (t)
[0, 1] × [0, 1] ✲ R
ex × id
ex
❄
❄
S 1 × [0, 1]
H ✲
S 1
Damit ist aber H : S 1 × [0, 1] → S 1 mit H := ex ◦ Φ eine Homotopie von f 0 nach f 1 ,
denn es ist
H(ex(t), s) = ex ◦ϕ s (t) = f s ◦ ex(t) für s = 0, 1
und damit also h 0 = f 0 und h 1 = f 1 .
Damit können wir schließlich die Fundamentalgruppe von S 1 genau bestimmen:
BEWEIS (VON SATZ 3.24): Die Abbildung ϕ : π 1 (S 1 ) → Z, [α] → deg(α) ist wohldefiniert
und homomorph, denn ist α ◦ ex = ex ◦ϕ und β ◦ ex = ex ◦ψ, so ist (α ∗ β) ◦
ex = ex ◦χ mit
{ ϕ(2t) für 0 ≤ t ≤
1
χ(t) =
2
ϕ(1) + ψ(2t − 1) für 1 2 < t ≤ 1.
Damit ist ϕ([α][β]) = χ(1) = ϕ(1) + ψ(1) = ϕ([α]) + ϕ([β]).
Ist deg(α) = 0, so zeigt Satz 3.30, dass α ≃ c 1 nicht nur als stetige Abbildungen,
sondern auch als Pfade (d.h. relativ {0, 1}), also [α] = 1, und somit ist ϕ injektiv.
Da für α(t) = ex(nt) gilt ϕ([α]) = n, ist ϕ auch surjektiv, und damit insgesamt ein
Isomorphismus.
Insgesamt haben wir damit die Fundamentalgruppe des Kreises durch Überlagerungen
und Liftungen von Kurven auf S 1 (siehe Kapitel 6) nachgewiesen. Es ist sehr wichtig
diese Fundamentalgruppe zu kennen, da viele nachfolgende Ergebnisse darauf beruhen,
wie dies auch schon in Satz 3.26 geschehen ist.
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