pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe
Definition 3.7: Sei X ein topologischer Raum und p ∈ X. Seien weiter α und β zwei
Pfade auf X mit Aufpunkt p ∈ X. Die Pfade heißen homotop (oder homotop relativ
{0, 1}), wenn sie als stetige Abbildungen homotop sind und die Homotopie den Aufpunkt
respektiert, d.h. es gibt eine stetige Abbildung H : [0, 1] × [0, 1] → X mit
H(t, 0) = α(t), H(t, 1) = β(t), H(0, s) = H(1, s) = p für alle s, t ∈ [0, 1].
Im Sinne von Definition 3.3 sind alle Wege nullhomotop. Aus diesem Grund muss die
Homotopie für Pfade neu definiert werden, so dass ein geschlossener Pfad auch während
der Homotopie die gesamte Zeit geschlossen bleibt.
Definition 3.8: Wege in C(p) werden durch Zusammenfügen verknüpft. Für zwei
Wege α, β ∈ C(p) ist
{ α(2t) 0 ≤ t ≤
1
α ∗ β =
2
1
β(2t − 1)
2 < t ≤ 1
die Hintereinanderausführung von α und β (siehe auch Abb. 3.2)
p
p
α
β
p
α ∗ β
Abbildung 3.2: Pfade werden verknüpft durch hintereinander ausführen. Der Mittelpunkt,
also (α ∗ β)(1/2), liegt dann wieder auf p, (α ∗ β)(1/2)(0) =
(α ∗ β)(1/2) = (α ∗ β)(1) = p.
Diese Verknüpfung kann auch auf Klassen von Pfaden ausgeweitet werden:
Lemma 3.9: Die Verknüpfung ∗ ist wohldefiniert auf den Äquivalenzklassen von Pfaden,
d.h.
[α][β] := [α ∗ β]
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