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Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
Vorteil, dass wir nicht nur Homöomorphismen erhalten, sondern direkt Diffeomorphismen.
Definition 6.6 (Operation durch Diffeomorphismen): Eine topologische Gruppe Γ,
die gleichzeitig auch noch eine glatte Mannigfaltigkeit ist, heißt eine Liegruppe 2 .
Sei M eine Mannigfaltigkeit und Γ eine Liegruppe. Die Operation durch Diffeomorphismen
(oder auch einfach Operation) von Γ auf M ist gegeben durch eine glatte Abbildung
Φ : Γ × M → M : (g, p) ↦→ g.p
wenn gilt:
• Die Abbildung Φ g : M → M : p ↦→ g.p ist differenzierbar für alle g ∈ Γ.
• Es ist 1.p = p für alle p ∈ M.
• Für alle g, h ∈ Γ und alle p ∈ M ist die Operation assoziativ, d.h. es gilt:
(gh).p = g.(h.p).
Man schreibt dann auch einfach g(x) := Φ g (x).
Die Beschränkung auf Liegruppen ist auf den ersten Blick eine sehr starke Einschränkung:
Welche Gruppe könnte schon eine Mannigfaltigkeitsstruktur tragen? Da wir aber
im Folgenden fast ausschließlich diskrete Gruppen betrachten werden, welche automatisch
Liegruppen der Dimension 0 sind (sofern die Gruppe abzählbar ist), stört die Beschränkung
auf Liegruppen die späteren Betrachtungen nicht wirklich.
Wie oben ist tatsächlich Φ g ein Diffeomorphismus mit Inversem Φ g −1, denn es ist Φ g ◦
Φ g −1 = id M (und auch Φ g −1 ◦ Φ g = id M und damit Φ g bijektiv und differenzierbar.
Betrachtet man anders herum die Menge der Diffeomorphismen einer Mannigfaltigkeit
Diff(M) mit der Verkettung, so erhalten wir daraus ebenfalls eine Gruppe. Für eine
Operation Φ : Γ × M → M wird damit die Abbildung
ρ : Γ → Diff(M) : g ↦→ Φ g
ein Gruppenhomomorphismus. Man nennt diese Abbildung daher auch eine Darstellung
von Γ als eine Transformationsgruppe von M. Ist der Homomorphismus ρ : Γ →
Diff(M) injektiv, so nennt man die Operation auch effektiv, d.h. für g.p = p für alle
p ∈ M folgt g = 1. Man kann dann Γ mit ρ(Γ) identifizieren und die Wirkung ist damit
klar.
Die Darstellungstheorie selbst ist ein eigener Teil der Algebra, so dass auch hier für die
meisten Sätze wesentlich allgemeinere Formulierungen existieren. Diese können hier
aufgrund des Umfanges nicht gezeigt werden, es sei verwiesen auf [2].
Wir benötigen noch ein paar weitere Begriffe, um Operationen genauer beschreiben zu
können:
2 Benannt nach Marius Sophus Lie, *17.12.1842, †18.2.1899, norwegischer Mathematiker.
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