pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

3.1. Homotopie
ist wohldefiniert für Pfade α, β ∈ C(p).
BEWEIS: Seien (α t ) t∈[0,1] : α 0 ≃ α 1 und (β t ) t∈[0,1] : β 0 ≃ β 1 . Dann ist (α t ∗ β t ) t∈[0,1]
Homotopie zwischen α 0 ∗ β 0 und α 1 ∗ β 1 .
α ′
α
p
β ′
β
Abbildung 3.3: Homotopien können wie Pfade verkettet werden. Es ergibt sich eine
Homotopie der verketteten Pfade, die sogar relativ {0, 1/2, 1} ist.
Auch unterschiedliche parametrisierte Wege sind homotop, fallen also in die gleiche
Klasse:
Definition 3.10: Sei α ∈ C(p) und ϕ : [0, 1] → [0, 1] stetig mit ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = 1.
Dann heißt ϕ eine Reparametrisierung und α ◦ ϕ eine Reparametrisierung von α.
Lemma 3.11: Sei α ∈ C(p) ein geschlossener Weg und α ◦ ϕ eine Reparametrisierung.
Dann sind α ≃ α ◦ ϕ homotop, also [α] = [α ◦ ϕ].
BEWEIS: Definiere α s (t) := α((1 − s)t + sϕ(t)). Dann ist α 0 = α, α 1 = α ◦ ϕ und
α s (0) = α s (1) = α(0) = α(1) = p. Damit ist (α s ) s∈[0,1] eine Homotopie von α nach
α ◦ ϕ.
Die Verknüpfung ∗ ist leider auf der Menge der Pfade nicht assoziativ, denn für drei
Pfade α, β, γ ∈ C(p) haben α ∗ (β ∗ γ) und (α ∗ β) ∗ γ zwar das gleiche Bild, sind aber
unterschiedlich parametrisiert. Dieses Manko wird jedoch durch die Homotopie behoben.
Lemma 3.12: Seien α, β, γ ∈ C(p) drei Wege in X. Dann ist
[α ∗ (β ∗ γ)] = [(α ∗ β) ∗ γ].
BEWEIS: Die Wege α ∗ (β ∗ γ) und (α ∗ β) ∗ γ sind Reparametrisierungen voneinander.
Genauer: Sei ϕ : [0, 1] → [0, 1] stetig und stückweise linear mit ϕ(0) =
0, ϕ(1/2) = 1/4 und ϕ(1) = 1. Dann ist ϕ eine Reparametrisierung, und (α ∗ (β ∗
γ)) ◦ ϕ = (α ∗ β) ∗ γ. Nach Lemma 3.11 sind also α ∗ (β ∗ γ) ≃ (α ∗ β) ∗ γ homotop.
Darstellung
von ϕ
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