pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

8.1. Zusammenhängende Summe entlang Tori
Satz 8.5: Für zwei n-dimensionale Mannigfaltigkeiten M 1 und M 2 und ψ i : V n → T i ⊆
M i diffeomorphe Einbettungen sowie deren Ränder T i = ∂V i (wie oben) ist
(Ohne Beweis.)
π 1 (M 1 # ψ1 ,ψ 2
M 2 ) = π 1 (M 1 \ ˚T 1 ) ∗ π 1 (M 2 \ ˚T 2 )/Z n−1 .
Wir müssen also immer noch die Fundamentalgruppen von M 1 und M 2 ohne die herausgeschnittenen
Volltorus-Einbettungen kennen, um die Fundamentalgruppe der Verbindung
bestimmen zu können, und die Bestimmung wird, anders als für zusammenhängende
Summen entlang Sphären auch nicht leichter mit höherer Dimension.
Wir können tatsächlich noch nicht einmal sicher sein, dass Z 2 als Untergruppe von
π 1 (M) auftauchen wird. So gibt es beispielsweise gibt die Möglichkeit, die Sphäre S 3 als
Summe entlang zweier Volltori zu schreiben. In diesem Fall ist die Summe der beiden
Volltori sogar einfach zusammenhängend, also π 1 (S 3 ) = (1).
8.1.1 Ein Beispiel: Knoten
Mit der zusammenhängenden Summe entlang Tori ist es uns bereits möglich, 3-Mannigfaltigkeiten
fast beliebig komplizierter Fundamentalgruppe zu bauen.
Seien dafür K 1 und K 2 zwei glatte Knoten, also zwei diffeomorphe Einbettungen von
S 1 in S 3 . Knoten können mehr oder weniger beliebig kompliziert sein, so sehr dass
die Knotentheorie ein eigenes Teilgebiet der Topologie ist. Durch „Verdicken“ eines
Knotens K zu V K = {x ∈ S 3 : d(x, K) 0,
erhält man einen eingebetteten Volltorus V K , der als „Seele“ gerade K enthält (siehe
auch Abbildung 8.1).
(a) Die S 1 ist der Ausgangspunkt
eines jeden Knotens.
Ein Knoten ist eine Einbettung
der S 1 in die S 3 .
(b) Ein einfacher Knoten, der
Kleeblattknoten.
(c) Der „verdickte“ Kleeblattknoten
ist ein verschlungener
Torus.
Abbildung 8.1: Die „Verdickung“ eines Knotens zu einem Torus. Während die Fundamentalgruppe
des Knoten selbst einfach zu bestimmen ist (es ist ja gerade
Ψ : T n → K ein Diffeomorphismus als Definition des Knotens gewählt),
ist bereits in diesem einfachen Beispiel die Fundamentalgruppe
des Komplements nur sehr schwer zu bestimmen.
91