pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

7.3. Quotienten
An den obigen Ausführungen dieses Prozesses mit nur den drei Bausteinen S 3 , T 3 und
Y hat sich gezeigt, dass eine detaillierte Auflistung aller möglichen Kombinationen von
Summen sehr mühsam, zum Teil sogar unmöglich ist. Aus diesem Grund müssen wir
uns darauf beschränken, die Bausteine und die Methoden zu klassifizieren.
Dieses Ziel haben wir insofern erreicht, dass der dargestellte Prozess unser gesamtes
bisheriges Wissen über 3-Mannigfaltigkeiten enthält. Nun stellen sich zwei Fragen:
Müssen wir uns überhaupt mit Quotienten von Mannigfaltigkeiten beschäftigen, um
noch mehr Bausteine zu erzeugen, insbesondere angesichts der großen Menge von Mannigfaltigkeiten,
die wir schon in unserem „Feld“ gefunden haben, und haben wir bereits
alle 3-Mannigfaltigkeiten erreicht?
7.3.1 Beispiel: Linsenräume
Zur Beantwortung der ersten Frage betrachten wir die runde Sphäre S 3 und ihre Isometriegruppe
SO(4). Diese Gruppe ist, als Untergruppe der Diffeomorphismengruppe
Diff(S 3 ), bereits so groß, dass wir daraus Untergruppen herausnehmen können, die
eigentlich diskontinuierlich operieren, um neue Mannigfaltigkeiten zu erzeugen.
Für gewählte p, q ∈ N mit 1 ≤ p ≤ q − 1 und ggT(p, q) = 1 erhält man beispielsweise
eine Gruppe Γ von Operationen, welche durch die Abbildung
( ( ) ( ) )
2πi 2pπi
ω : (z 1 , z 2 ) ↦→ exp z 1 , exp z 2
q
q
erzeugt werden, wobei hierfür die S 3 als die Einheitskugel in C 2 betrachtet wird; Γ =
{1, ω, ω 2 , . . . } ist dann isomorph zu Z/qZ. Es ist einfach zu sehen, dass diese Gruppe
eigentlich diskontinuierlich operiert, und somit ist
L(p, q) = S 3 /Γ
eine Mannigfaltigkeit, der sogenannte Linsenraum zu den Parametern p und q. Die
Gruppe der Operationen Γ, mit der wir es hier zu tun haben, ist aber zyklisch und
endlich, es ist nämlich Γ ∼ Z/qZ (für jedes p ∈ Z). Das heißt, wir haben eine Mannigfaltigkeit
mit endlicher, nichttrivialer Fundamentalgruppe gefunden, sogar (mindestens)
für jedes q ∈ N eine unterschiedliche. Da wir bisher nur Mannigfaltigkeiten mit
unendlicher Fundamentalgruppe gefunden hatten, wissen wir, dass diese neu gefundenen
Linsenräume nicht in unser bisheriges Schema passen.
Man kann zeigen, dass für die Parameter folgende Aussage gilt:
Satz 7.7: Seien p, q, p ′ , q ′ ∈ N mit 1 ≤ p ≤ q − 1, ggT(p, q) = 1, 1 ≤ p ′ ≤ q ′ − 1 und
ggT(p ′ , q ′ ) = 1, so dass die Linsenräume L(p, q) und L(p ′ , q ′ ) definiert sind. Dann gilt
(wobei p, p ′ ∈ Z q aufgefasst werden).
(Ohne Beweis. Siehe [11].)
L(p, q) ∼ = L(p ′ , q ′ ) ⇐⇒ q ′ = q und p ′ = ±p ±1
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