pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

und lautet wie folgt:
Conjecture 1.1: The interior of every compact 3-manifold has a canonical decomposition
into pieces which have geometric structures.
(Das Innere einer jeden kompakten 3-Mannigfaltigkeit hat eine kanonische Dekomposition in
Teile, welche geometrische Strukturen tragen.)
Diese Vermutung wird präzisiert, indem die Prozesse angegeben werden, mittels welchen
die Dekomposition durchgeführt wird, und was mit der geometrischen Struktur
gemeint ist. Namentlich handelt es sich bei der Dekomposition um Chirurgie entlang
Sphären und um Chirurgie entlang bestimmter eingebetteter Tori. Die geometrische
Struktur wird erreicht durch eine so genannte Überlagerung durch bestimmte Mannigfaltigkeiten,
welche jeweils eine bestimmte Geometrie definieren. Kurz darauf konnte
gezeigt werden, dass genau acht solcher Grundgeometrien existieren. Eine sehr kurze
Übersicht über diese acht Geometrien werden wir in Kapitel 9 sehen.
Wir werden also in dieser Arbeit die drei Techniken kennenlernen, die im Thurstonprogramm
angedeutet sind: die Dekomposition entlang Sphären (beziehungsweise deren
Umkehrung, die zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeit) in Kapitel 4,
die Dekomposition entlang Tori (oder die zusammenhängende Summe entlang Tori) in
Kapitel 8 sowie die Quotientenbildung aus einer Mannigfaltigkeit, die gleichzeitig die
Geometrie erhält in Kapitel 6.
Und schließlich werden wir uns noch einmal genauer betrachten, welche Auswirkungen
und Konsequenzen das Thurstonprogramm hat und einige der Mannigfaltigkeiten,
die es herstellt, klassifizieren und unterscheiden lernen.
Übersicht
In Kapitel 2 werden die Grundlagen erklärt, die notwendig sind, um sich überhaupt mit
Mannigfaltigkeiten beschäftigen zu können. In Kapitel 3 wird die Fundamentalgruppe
definiert und ihre Eigenschaften erkundet. In Kapitel 4 werden wir das erste Werkzeug
kennen lernen, mit dem wir aus zwei Mannigfaltigkeiten eine neue konstruieren können:
die zusammenhängende Summe zweier Mannigfaltigkeiten. In Kapitel 5 werden
wir dieses Werkzeug benutzen, um alle existierenden Flächen (also Mannigfaltigkeiten
der Dimension 2) zu bestimmen, was uns später als Grundlage dienen wird, die
3-Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. In Kapitel 6 lernen wir das zweite Werkzeug auf
unserem Weg zur kompletten Klassifikation der 3-Mannigfaltigkeiten kennen: die Quotientenbildung,
die aus einer Mannigfaltigkeit eine „kleinere“ produziert. Im anschließenden
Kapitel 7 werden wir die bis dahin gefundenen Werkzeuge benutzen um, analog
zu dem Kapitel über Flächen, die gefundenen Möglichkeiten auszuschöpfen und zu
sehen, ob die Klassifikation bereits abgeschlossen ist. In Kapitel 8 werden wir schließlich
das dritte und letzte notwendige Werkzeug definieren: die zusammenhängende
Summe entlang eingebetteter Tori, um schließlich in Kapitel 9 einen kurzen Überblick
über das Thurston-Programm und die komplette Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten
der Dimension 3 zu geben.
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