pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 7. Sphären, Tori und Summen der Dimension 3
Lemma 7.4: Mit g ∈ N hat die Mannigfaltigkeit Y g die Fundamentalgruppe
π 1 (Y g ) = Z ∗g
BEWEIS: Laut Definition von Y g ist
π 1 (Y g ) = π 1 ((S 2 × S 1 ) # . . . #(S 2 × S 1 ))
= π 1 (S 2 × S 1 ) ∗ · · · ∗ π 1 (S 2 × S 1 )
= Z ∗ · · · ∗ Z = Z ∗g
Komplett analog zu unseren Beobachtungen für reguläre Tori erhalten wir eine Folge
von Mannigfaltigkeiten, die alle unterschiedlich sind:
Lemma 7.5: Die Mannigfaltigkeiten Y g für g ∈ N sind paarweise nicht diffeomorph.
BEWEIS: Seien g, h ∈ N mit g ̸= h. Dann ist
π 1 (Y g ) ab = (Z ∗g ) ab = Z g ̸∼ = Z h = (Z ∗h ) ab = π 1 (Σ ′ h ).
Folglich existiert kein Diffeomorphismus von Σ ′ g nach Σ ′ h .
Nun haben wir also eine weitere Möglichkeit gefunden, die Abfolge der zweidimensionalen
Tori zu verallgemeinern.
7.2.3 Mischungen
Wie man an den vorangegangenen zwei Abschnitten sieht, existieren zwei gleichwertige
Möglichkeiten, Analogien zu den Flächen herzustellen. Keine der beiden Möglichkeiten
hat irgendwelche Vorzüge oder Nachteile, so dass nicht klar ist, welches die
„bessere“ Wahl sein könnte. Zwar werden in der Literatur hauptsächlich T 3 benutzt,
allerdings sollte dies kein ernsthaftes Kriterium darstellen.
Was aber passiert, wenn wir die beiden Arten vermischen? Also Mannigfaltigkeiten
herstellen der Form Σ g # Y h ?
Lemma 7.6: Eine Mannigfaltigkeit der Form Σ g # Y h , für g, h ∈ N hat Fundamentalgruppe
π 1 (Σ g # Y h ) = π 1 (Σ g ) ∗ π 1 (Y h ) = (Z 3 ) ∗g ∗ Z ∗h .
BEWEIS: Folgt direkt aus Lemma 7.2 und Lemma 7.4.
Nun sieht man, dass es schwieriger wird, die Gruppen zu unterscheiden.
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