pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 8. Zusammenhängende Summen entlang eingebetteter Tori
Erzeugt man diese Volltori aus K 1 und K 2 erhält man also zwei Mannigfaltigkeiten
M 1 = S 3 und M 2 = S 3 mit jeweils einem eingebetteten Torus V K1 ⊆ M 1 und V K2 ⊆ M 2 .
Die Fundamentalgruppen π 1 (M i \ ˚T Ki ) hängen natürlich von K i ab und können somit
ebenfalls sehr kompliziert sein 1 . Wir haben aber jetzt alle Voraussetzungen geschaffen
die notwendig sind, um eine zusammenhängende Summe entlang Tori zu erzeugen,
also ist
M := M 1 ## ψ1 ,ψ 2
M 2 ,
wobei ψ i : V n−1 → V Ki die Einbettungen darstellen.
Die Fundamentalgruppe dieser Mannigfaltigkeit berechnet sich, wie wir wissen, zu
Folgendem:
π 1 (M) = π 1 (S 3 \ ˚T K1 ) ∗ π 1 (S 3 \ ˚T K2 )/Z 2 .
Wir haben also durch geschicktes Verbinden aus zwei sehr einfachen Mannigfaltigkeiten,
aus zwei Kopien des S 3 , eine Mannigfaltigkeit gemacht, deren Fundamentalgruppe
enorm kompliziert sein kann. Ein beeindruckenderes Beispiel der Möglichkeiten, die
die zusammenhängende Summe entlang Tori eröffnet, kann man sich kaum vorstellen.
Tatsächlich kann man zeigen, dass jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit als zusammenhängende
Summe entlang Tori darstellbar ist [6].
8.2 Dekomposition
Ebenso wichtig wie das Zusammenfügen von Mannigfaltigkeiten wäre auch hier eine
Dekomposition in Teile, die (hoffentlich) im Wesentlichen eindeutig sind.
Das analog zum Begriff „prim“ für zusammenhängende Summen ist hier „atoroidal“.
Leider benötigen wir für dessen Definition noch einen weiteren Begriff:
Definition 8.6: Sei M eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die nicht die Sphäre
S 3 ist und S eine eingebettete Fläche in M. Die Fläche S heißt inkompressibel, wenn für
jede glatt eingebettete Kreisscheibe B ⊆ M mit B ∩ S = ∂B gilt, dass ∂B auch Rand
einer Kreisscheibe B ′ ⊆ S ist, die eingebettet in S ist, also ∂B = ∂B ′ .
Eine eingebettete Fläche heißt entsprechend kompressibel, wenn sie nicht inkompressibel
ist, das heißt, wenn es eine Kreisscheibe B ⊆ M gibt mit B ∩ S = ∂B, so dass
keine Kreisscheibe B ′ ⊆ S existiert für die ∂B = ∂B ′ ist.
Es sind also solche Flächen S inkompressibel, für die folgende Eigenschaft gilt: Kann
ein eingebetteter Kreis S 1 → S nicht „ausgefüllt“ werden, ist also nicht Rand einer
Scheibe B → S, so gilt dies auch in M, es gibt also keine Scheibe B → M, deren Rand
der genannte Kreis ist.
Es fehlt eigentlich noch ein letzter Begriff, der für die folgende Definition notwendig
ist, nämlich „randparallel“. Da dieser Begriff aber nur für berandete Mannigfaltigkeiten
etwas bedeutet, können wir an dieser Stelle darauf verzichten.
1 Tatsächlich ist die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements die erste nicht-triviale Invariante eines
Knotens. Das heißt, für einen geeignet gewählten Isomorphiebegriff gilt: Ist K 1
∼ = K2 so folgt, dass
π 1 (K C 1 ) ∼ = π 1 (K C 2 ) ist.
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