pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 4. Zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten
M
S = j i (S i )
j 2
j 1
S 1 = ∂B 2
B 1
B n
ψ 1
U 1 p 1
M 1
ϕ 1
V 1
ψ 2
B 2 , S 2 = ∂B 2
p U 2 2
M 2
ϕ 2
V 2
Abbildung 4.3: Aus zwei passenden Karten ϕ 1 : U 1 → V 1 und ϕ 2 : U 2 → V 2 wird eine
Karte in M zusammengesetzt. Da alle Schnittmengen übereinstimmend
gemacht werden können ist es möglich, die weißen Bereiche in V 1 und
V 2 zu einer Karte zusammen zu setzen.
Dies ist eine Karte um ϕ(0) = p auf M, die alle notwendigen Eigenschaften erfüllt
(siehe auch Abbildung 4.3).
Damit ist M bereits eine glatte Mannigfaltigkeit. Es fehlt nun nur noch, dass M auch
orientierbar ist. Der Beweis hierfür kann wie folgt skizziert werden: Die Tangentialräume
TM 1 von M 1 und TM 2 von M 2 erfahren im Wesentlichen die gleichen
Operationen wie M 1 und M 2 , es ist dann
TM = (TM 1 \T ˚B i ) + (TM 2 \T ˚B 2 )/ ∼
wobei v 1 ∼ v 2 genau dann der Fall sein soll, wenn v i ∈ TB i sind. Dabei wird
jeweils eine Komponente von TM 1 mit einer Komponenten von TM 2 verbunden,
so dass auch TM in zwei Komponenten zerfällt, und somit M orientierbar ist 1 .
Damit ist M schließlich eine glatte, orientierbare, kompakte Mannigfaltigkeit.
Nun wissen wir, dass wir tatsächlich eine neue Mannigfaltigkeit erzeugt haben, und
folgendes Lemma erlaubt uns, die reichlich ungenaue Notation „M = N 1 # N 2 “ zu
schreiben.
1 Tatsächlich können sogar zwei orientierte Mannigfaltigkeiten durch die zusammenhängende Summe so
verbunden werden, dass das Ergebnis wieder eine Orientierung trägt, die auf den Komponenten mit
der Orientierung der Ausgangsmannigfaltigkeiten übereinstimmt. Auch dies wird hier nicht bewiesen.
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