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Kapitel 5. Die Theorie der Flächen Wie oben sehen wir also, dass keine der bereits bekannten Fundamentalgruppen zu dieser isomorph sein kann, also unterscheiden sich die gefundenen Mannigfaltigkeiten tatsächlich alle voneinander. Wir haben also inzwischen einen ordentlichen Zoo von Flächen angesammelt: Σ 0 = S 2 , Σ 1 = T 2 , Σ 2 = T 2 # T 2 , Σ 3 = Σ 2 # T 2 , . . . Jede dieser Flächen wird durch eine Zahl g ∈ N 0 identifiziert, welche auch Genus der Fläche genannt wird. Der Genus einer Fläche beschreibt hier, wie viele „Löcher“ eine Fläche hat und hängt daher eng mit der Eulercharakteristik zusammen. Es ist nämlich χ(Σ g ) = 2 − 2g, dabei bezeichnet χ(X) die aus einer (beliebigen) Triangulierung berechnete Eulercharakteristik χ = V − E + F (Anzahl Knoten - Anzahl Kanten - Anzahl Dreiecke). Nun stellt sich die Frage, ob und welche Flächen es noch geben könnte. Die Antwort liefert der folgende Satz: Satz 5.2 (Die Klassifikation der Flächen): Jede kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension 2 ist diffeomorph zu genau einem Σ g für ein g ∈ N 0 . Leider erfordert der Beweis dieses Satzes eine Menge von Konstrukten, die in dieser Arbeit nicht besprochen werden können. Ein Beweis, der auf Morse-Theorie basiert, wird beispielsweise von Morris Hirsch in seinem Buch „Differential Topology“ gezeigt [4, Chapter. 9]. Mit diesem doch recht tiefgehenden Resultat haben wir nun die vollständige Kontrolle über alle kompakten, orientierbaren Flächen erlangt: Wir können zwei beliebige Flächen voneinander unterscheiden (wenn ihre Fundamentalgruppe nicht übereinstimmt), wir wissen, wann zwei Flächen diffeomorph sind (wenn ihre Fundamentalgruppe übereinstimmt) und wir wissen, welche Flächen überhaupt existieren. 62
Σ 0 = S 2 Σ 1 = T 2 Σ 2 Σ 3 . . . . Σ g Abbildung 5.5: Der Zoo der Flächen: Jede existierende Mannigfaltigkeit der Dimension 2 entspricht genau einem Eintrag aus dieser Liste. 63
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Über die Klassizierung dreidimensi
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Danksagungen Ich bedanke mich bei m
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 11
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Seite 27: 2.2. Gruppentheorie Sobald beide Fa
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Seite 95 und 96: 9 Das Thurstonprogramm Mit Hilfe de
Seite 97: Literaturverzeichnis [1] Jeff Cheeg
Seite 100: Index Metrik, riemannsche, 80 Model
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