pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 2. Grundlagen und Hilfsmittel
(a) Eine Einbettung der S 1 in den R 2 (der
R 2 wird dargestellt durch das Blatt).
(b) Eine Einbettung des B 2 in den R 2 .
Der Rand ∂B 2 ist schwarz eingezeichnet;
Punkte, die nicht auf dem Rand liegen in
grau.
Abbildung 2.6: Sowohl die Sphäre S n−1 als auch der Ball B n sind eingebettet in den R n .
Diese Einbettungen unterscheiden sich aber in ihrer Dimension: Während
die Sphäre S n−1 eine „echte“ Untermannigfaltigkeit in R n ist, ist
der Ball B n quasi ein „Teil“ des R n , hat also die gleiche Dimension. Diese
Unterscheidung wird sofort deutlich, wenn man sich die Einbettungen
betrachtet (siehe (a) und (b)).
Fasst man den Kreis S 1 als Einheitsintervall auf, wo die beiden Endpunkte miteinander
identifiziert werden, erhält man eine weitere mögliche Darstellung des Torus:
Lemma 2.23: Die 1-Sphäre S 1 kann geschrieben werden als
S 1 = [0, 1]/∼
wobei die Äquivalenzrelation ∼ die beiden Punkte 0 ∼ 1 miteinander identifiziert und alle
anderen Punkte in einpunktige Äquivalenzklassen eingeordnet sind.
Entsprechend kann für jedes n ≥ 2 der Torus T n geschrieben werden als
T n = [0, 1] n /∼ .
BEWEIS: Die Abbildung ex : [0, 1]/∼ → S 1 : t ↦→ exp(2πit) kann als Diffeomorphismus
nachgewiesen werden.
t↦→e 2πit
[0, 1] ✲ S 1 ⊆ C
❄ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣✯♣ ♣
ex
[0, 1]/∼
Damit haben wir bereits drei sehr wichtige Klassen von Mannigfaltigkeiten gefunden:
die einfachen, nicht-kompakten reellen Räume, die Sphären und die Tori. Die Frage,
die sich an dieser Stelle natürlich auftut, ist, ob wir nicht etwa die gleiche Mannigfaltigkeit
mehrmals definiert haben. Also, ob es Diffeomorphismen E n → S n oder S n → T n
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