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4.2. Die Fundamentalgruppen von Summen
in U ∩ V. In [0, 1] 2 gilt für jedes Rechteck Q mit den Kanten u, r, o, l, dass u ∗ r ≃ l ∗ o
relativ {0, 1} ist, und folglich in U ∩ V auch ū ∗ ¯r ≃ ¯l ∗ ō, und damit auch
̂[ū] ∗ ̂[¯r] = ̂ [¯l]̂[ō]
Sind nun h s , h s+1 : [0, 1] → [0, 1] 2 benachbarte Horizontalen in Γ, so ist
Weil weiter
h s+1 = o 1 ∗ · · · ∗ o k ≃ (l −1
1
∗ u 1 ∗ r 1 ) ∗ · · · ∗ (l −1
k
∗ u k ∗ r k ).
¯l
−1
1
= c p = ¯r k ist und r j = l −1
j+1 , folgt
̂[¯h s+1 ] = ̂[ū 1 ] . . . ̂[ū k ] = ̂[¯h s ] also ̂[¯hs ] = ̂[¯h s+1 ].
Durch mehrfache Anwendung dieses Resultates erhalten wir
Und damit ergibt sich schließlich, dass
̂[ ¯γ i ] = ̂[¯h 0 ] = ̂ [¯h l ] = ̂[ ¯c p ].
ĉ = ̂[ ¯γ 1 ] . . . ̂[ ¯γ k ] = ̂[ ¯c p ] . . . ̂[ ¯c p ] = 1.
Bevor wir den Satz von Seifert-van-Kampen auf unsere Konstruktion der zusammenhängenden
Summe anwenden können, benötigen wir eine leichte, technische Modifikation:
für zusammenhängende Summen waren weder U = M 1 , noch V = M 2 offen.
Definiert man aber U und V so, dass sie ein wenig über die Schnittstelle hinausragen
und offen sind (siehe Abb. 4.7), so erhält man, dass π 1 (U) = π 1 (M 1 ), π 1 (V) = π 1 (M 2 )
und π 1 (U ∩ V) = π 1 (S n−1 ), wo n die Dimension von M ist.
(a) Der Teil von M, der die
Schnittstelle S enthält.
(b) Das über S hinaus ausgeweitete
M 1 .
(c) Das über S hinaus ausgeweitete
M 1 .
Abbildung 4.7: Um den Satz von Seifert-van Kampen auf zusammenhängende Summen
von Mannigfaltigkeiten anwenden zu können, müssen U und V
so definiert werden, dass sie ein kleines Stück über die Schnittstelle S
von M 1 und M 2 in M hinausragen und offen sind.
Insbesondere wird also die Fundamentalgruppe einfach zu berechnen sein, wenn die
Überschneidung U ∩ V einfach zusammenhängend ist. Da in unserem Fall aber stets
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