pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

7.3. Quotienten
7.2.4 Unterscheidung
Vergleichen wir als ein erstes Beispiel die beiden Mannigfaltigkeiten T 3 = Σ ′ 1 und Y 3.
Die Fundamentalgruppen sind hierbei
π 1 (Σ ′ 1) = Z 3 und π 1 (Y 3 ) = Z ∗3 .
Auf den ersten Blick ist nicht klar, ob sich diese Gruppen unterscheiden oder nicht.
Bei näherer Betrachtung stellt sich aber heraus, dass Z 3 abelsch ist, während Z ∗3 nicht
abelsch ist. In diesem Fall haben wir also ein leichtes Kriterium gefunden, um die Gruppen
zu unterscheiden, welches sich allerdings leicht in einem weiteren Beispiel ausbügeln
lässt: Wir möchten nun wissen, ob die Mannigfaltigkeiten Σ ′ 1 # Y 3 und Y 6 sich
unterscheiden. Die Fundamentalgruppen kennen wir bereits:
π 1 (Σ ′ 1 # Y 3) = Z 3 ∗ Z ∗3 und π 1 (Y 6 ) = Z ∗6 .
In diesem Fall können wir die einfache Unterscheidung von oben nicht benutzen, da
sowohl Z 3 ∗ Z ∗3 als auch Z ∗6 nicht abelsch sind. Auch deren Abelianisierung, die sich
bei beiden als Z 6 ergibt, hilft uns nicht weiter – die Frage, ob die Fundamentalgruppen
sich unterscheiden, muss für diese Arbeit offen bleiben.
7.2.5 Die einfachen Mannigfaltigkeiten
Wir haben also zwei unterschiedliche Möglichkeiten gefunden, die Flächen aus Kapitel
5 zu verallgemeinern. Auf der einen Seite steht die Abfolge der Mannigfaltigkeiten
Σ ′ n, die gebildet werden aus dem Standardtorus T 3 = S 1 # S 1 # S 1 ; auf der anderen Seite
steht die Abfolge der Mannigfaltigkeiten Y n , die gebildet werden aus dem Pseudotorus
Y 1 = S 2 × S 1 ; und schließlich existieren noch Mischungen dieser beiden Möglichkeiten.
Insgesamt ergibt sich ein „Feld“ von möglichen Mannigfaltigkeiten, wobei aber nicht
klar ist, welche dieser Mannigfaltigkeiten möglicherweise diffeomorph sind, da manche
der Fundamentalgruppen so schwierig auseinander zu halten sind, dass wir dies
hier nicht durchführen können.
Die Möglichkeiten der Summenbildung aus den uns bekannten, einfachen Mannigfaltigkeiten
sind damit erschöpft, und wir müssen uns erneut die unbequeme Frage
stellen, ob wir bereits alle Mannigfaltigkeiten erfasst haben. Im Gegensatz zu den Flächen
stellt sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall ist, sondern wir erst einen kleinen
Bruchteil der dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten betrachtet haben.
7.3 Quotienten
Bis hier haben wir uns darauf beschränkt, nur solche Mannigfaltigkeiten als Bausteine
für zusammenhängende Summen zu benutzen, die wir schon kannten. Da wir aus
Kapitel 6 wissen, wie wir aus einer bekannten (einfach zusammenhängenden) Mannigfaltigkeit
neue, unbekannte Quotienten herstellen können, können wir also auch diese
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