pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

8 Zusammenhängende Summen entlang
eingebetteter Tori
Das letzte Werkzeug das wir benötigen bevor wir das Thurstonprogramm formulieren
können ist die zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten entlang eingebetteter
Tori, welche von Johannson und Jaco-Shalen definiert wurde. Die Technik ist hierbei
die gleiche wie bei der zusammenhängenden Summe entlang Sphären: Aus zwei
Mannigfaltigkeiten wird jeweils eine Untermannigfaltigkeit entfernt und die entstehenden
Ränder miteinander identifiziert. Die dabei entstehenden Mannigfaltigkeiten
sind jedoch wesentlich vielfältiger als bei der bekannten zusammenhängenden Summe.
Und auch die Fundamentalgruppe ist wesentlich schwieriger zu berechnen, weshalb
wir uns hier darauf beschränken müssen, nur das Verfahren und dessen Möglichkeiten
anzugeben.
Ebenso wie bei der zusammenhängenden Summe entlang Sphären wird auch in diesem
Kapitel ein Prozess beschrieben, der die Summe wieder auflöst und aus einer Mannigfaltigkeit
zwei oder mehrere Bausteine macht, die als Summanden dienen können.
Prinzipiell könnte das Verfahren der zusammenhängenden Summe entlang beliebiger
Untermannigfaltigkeiten durchgeführt werden. Es zeigt sich jedoch, dass der Aufwand,
den dies bedeuten würde, weitgehend unnötig ist, da bereits durch die beiden
vorgestellten Summen-Methoden alle Mannigfaltigkeiten konstruiert werden können.
Somit haben wir nach Abschluss dieses Kapitels alle notwendigen Techniken untersucht,
um im folgenden Kapitel über das Thurstonprogramm eine Klassifizierung aller
3-Mannigfaltigkeiten aufzustellen.
8.1 Zusammenhängende Summe entlang Tori
Die Definition der zusammenhängenden Summe entlang zweier Tori sieht fast genau
so aus wie die der zusammenhängenden Summe entlang zweier Sphären:
Definition 8.1: Ein Volltorus der Dimension n ∈ N ist
V n = B n−1 × S 1 .
Der Rand des Volltorus entspricht genau dem Torus einer Dimension niedriger:
∂V n = T n−1 .
Damit haben wir das hier benötigte äquivalent zu den Sphären in der Hand und können
diese als verbindendes Element benutzen:
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