pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

6.4. Überlagerungen, Mannigfaltigkeiten und die Fundamentalgruppe
um ˜p existiert. Wir setzen nun
U p := π(Ũ ˜p ) ⊆ M.
Damit ist π(U p ) = ⋃ g∈Γ g(Ũ ˜p ), und folglich ist U p offen und π ∣ ∣Ũ
˜p
Homöomorphismus. Wir definieren jetzt eine Karte
: Ũ ˜p → U p ein
ϕ p : U p → V p := Ṽ˜p ⊆ R n : ϕ p := ˜ϕ ˜p ◦ (π ∣ ∣Ũ
˜p
) −1
und erhalten dadurch, dass M eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension
n ist.
Im Folgenden werden wir zeigen, dass A = {ϕ p } p∈M sogar ein differenzierbarer
Atlas auf M ist. Seien dazu p 1 , p 2 ∈ M, so dass die Umgebungen U p1 ∩ U p2 ̸= ∅
nicht schnittfrei sind. Sei weiter p 0 ∈ U p1 ∩ U p2 und U p0 ⊆ U p1 ∩ U p2 eine zusammenhängende,
offene Umgebung von p 0 . Definiere:
Ũ 1 := Ũ ˜p1 ∩ π −1 (U 0 )
Ũ 2 := Ũ ˜p2 ∩ π −1 (U 0 )
˜p 0 := (π ∣ ∣Ũ
˜p1
) −1 (p 0 ) und
˜p 0
:= (π ∣ ∣Ũ
˜p2
) −1 (p 0 )
Da π( ˜p 0 ) = p = π( ˜p 0
), existiert ein g ∈ Γ mit ˜p 0
= g. ˜p 0 und somit ist Ũ 2 = g(Ũ 1 ),
denn es ist g(Ũ 1 ) ∩ h(Ũ 2 ) ̸= ∅ für g ̸= h und g : Ũ 1 → Ũ 2 ist ein Diffeomorphismus.
Da π ◦ g = π, ist mit ϕ 1 := ϕ p1 und ϕ 2 := ϕ p2 Folgendes richtig:
ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 (x) = ( ˜ϕ 2 ◦ (π ∣ ∣Ũ2
) −1 ) ◦ ( ˜ϕ 1 ◦ (π ∣ ∣Ũ1
) −1 ) −1 (x)
= ˜ϕ 2 ◦ (π ∣ )
∣Ũ2 −1 ◦ (π ∣ )
∣Ũ1
} {{ }
=g
= ˜ϕ 2 ◦ g ◦ ˜ϕ −1
1 (x).
◦ ˜ϕ −1
1 (x)
Damit ist also auch ϕ 2 ◦ ϕ −1
1
differenzierbar, und somit die Menge der Karten
{ϕ p } p∈M ein differenzierbarer Atlas.
Zusammen mit dieser Struktur ist auch die Abbildung π : ˜M → ˜M/Γ differenzierbar.
Sei dazu ˜p ∈ M und p = π( ˜p). Dazu existiert ein g ∈ Γ, so dass ˜p = g. ˜p
ist. In den Karten ϕ = ϕ p um p und ˜ϕ ˜p = ˜ϕ um ˜p, also ˜ϕ ◦ g −1 um ˜p wird π zu
Folgendem:
ϕ ◦ π ◦ ( ˜ϕ ◦ g −1 ) −1 = ( ˜ϕ ◦ (π ∣ −1)
∣Ũ)
◦ π ◦ γ ◦ ˜ϕ −1 = id
} {{ }
=id
und damit insbesondere differenzierbar.
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