pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 2. Grundlagen und Hilfsmittel
Lemma 2.25: Seien α 1 : H 1 → G und α 2 : H 2 → G Gruppenhomomorphismen. Dann ist
α 1 ∗ α 2 : H 1 ∗ H 2 → G
mit
α 1 ∗ α 2 (h (i)
1 h(j) 2
. . . ) = α i (h (i)
1 )α j(h (j)
2
. . .
wobei h (i)
k
∈ H i darstellen soll, ein Homomorphismus.
BEWEIS: Klar.
Da Gruppen, die als freie Produkte entstehen, recht schwierig auseinander zu halten
sind, brauchen wir ein Kriterium, das uns dabei helfen kann.
Definition 2.26: Sei G eine Gruppe und g, h ∈ G. Man definiert den Kommutator von
g und h als
[g, h] = ghg −1 h −1 .
Die Kommutatoruntergruppe [G, G] der Gruppe G ist die von allen Kommutatoren erzeugte
Untergruppe von G, also
[G, G] := 〈 {[g, h] : g, h ∈ G} 〉.
Im Allgemeinen ist die Menge der Kommutatoren nicht abgeschlossen unter Multiplikation,
weshalb hier die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe benutzt werden
muss.
Die Kommutatoruntergruppe einer Gruppe G kann nun benutzt werden, um den „abelschen
Teil“ einer Gruppe zu finden:
Definition 2.27: Die Abelianisierung einer Gruppe G ist die Gruppe
G ab := G/[G, G].
Dafür müssen wir nachprüfen, dass G ′ := [G, G] ein Normalteiler ist. Da
(
a · [g, h] · a −1 = a · ghg −1 h −1 a −1 = (ag)h(ag) −1 h −1) (hah −1 a −1 ) = [ag, h][h, a]
Produkt von Kommutatoren ist, liegt a[g, h]a −1 ∈ G ′ , und G ′ ist somit ein Normalteiler
in G.
Lemma 2.28: Die Abelianisierung einer beliebigen Gruppe G ist abelsch.
BEWEIS: Seien ḡ, ¯h ∈ G ab , d.h. ḡ = g[G, G] und ¯h = h[G, G]. Dann ist gh =
gh[G, G] und insbesondere gh[h, g] ∈ gh. Es ist aber gh[h, g] = ghh −1 g −1 hg = hg =
hg[id, id] ∈ gh. Damit ist
ḡ¯h = gh = hg = ¯hḡ
und somit G ab kommutativ.
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