pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

2.2. Gruppentheorie
gibt. Die erste Frage ist leicht zu beantworten, da der euklidische Raum E n ja nicht einmal
kompakt ist, eine solche Eigenschaft aber von jedem Homöomorphismus erhalten
werden muss.
Die Frage aber, ob es einen Diffeomorphismus S n → T n gibt, muss für den Moment
offen bleiben. Wir werden sie beantworten können, nachdem im folgenden Kapitel 3
die Fundamentalgruppe definiert wurde; im Abschnitt 3.4 wird schließlich eine Erläuterung
der Antwort dargestellt.
Eine weitere Frage, die sich auf natürliche Weise an dieser Stelle ergibt, ist, ob nicht vielleicht
schon alle Mannigfaltigkeiten auf diese Weise erfasst sind. Auch diese Frage kann
an dieser Stelle noch nicht beantwortet werden, wir müssen uns bis zu Kapitel 5 gedulden,
bevor eine erschöpfende Antwort (zumindest für den Spezialfall der Dimension
2) gegeben werden kann.
2.2 Gruppentheorie
Um die Betrachtung der Fundamentalgruppe, die ja selbst eine Gruppe ist, in den folgenden
Kapiteln zu erleichtern, müssen wir einige, vergleichsweise exotische Gruppen
definieren und betrachten. Vorausgesetzt wird, dass generelle Aussagen und Definitionen
über Gruppen bekannt sind.
Definition 2.24: Seien G 1 und G 2 zwei Gruppen. Man benennt als das freie Produkt
G 1 ∗ G 2 die Menge von Worten g = g 1 g 2 . . . g k , für die gilt:
• Die Länge des Wortes ist k ∈ N.
• Für „Buchstaben“ g i gilt: g i ∈ G 1 oder g i ∈ G 2 für alle i = 1, . . . , k, und g i und
g i+1 sind nicht aus der gleichen Gruppe (für i = 1, . . . , k − 1).
• Für alle i = 1, . . . , k gilt g i ̸= 1 ∈ G 1 und g i ̸= 1 ∈ G 2 .
Das leere Wort g = hat die Länge 0. Die Verknüpfung zweier Worte g = g 1 . . . g k
und h = h 1 . . . h l geschieht durch Verkettung der Buchstaben und eine Reduktion auf
Normalform. Die Verknüpfung ist also definiert als:
gh = g 1 . . . g k h 1 . . . h l
wobei anschließend innerhalb von G 1 und G 2 ausmultipliziert und Einselemente entfernt
werden, bis die oben definierte Form erreicht ist.
Das freie Produkt zweier Gruppen wird mit dieser Verknüpfung wieder selbst zu einer
Gruppe. Das Einselement dieser Gruppe ist das leere Wort, und das Inverse eines Elementes
g = g 1 . . . g k ist g −1 = g −1
k
. . . g −1
1 . Die ursprünglichen Gruppen G 1 und G 2 sind
eingebettet in das freie Produkt G 1 ∗ G 2 als die Worte der Länge 1, also g = g 1 .
Auch Homomorphismen können auf diese Weise zusammengesetzt werden:
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