pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

7.2. Summen einfacher Mannigfaltigkeiten und deren Unterscheidung
Lemma 7.2: Für g ∈ N hat die Mannigfaltigkeit Σ ′ g die Fundamentalgruppe
π 1 (Σ ′ g) = (Z 3 ) ∗g
BEWEIS: Laut Definition von Σ ′ g ist
π 1 (Σ ′ g) = π 1 (T 3 # . . . # T 3 ) = π 1 (T 3 ) ∗ · · · ∗ π 1 (T 3 )
= Z 3 ∗ · · · ∗ Z 3 = (Z 3 ) ∗g .
Ähnlich wie bei den Flächen, unterscheiden sich alle diese Mannigfaltigkeiten voneinander:
Lemma 7.3: Die Mannigfaltigkeiten Σ ′ g für g ∈ N sind paarweise nicht diffeomorph.
BEWEIS: Seien g, h ∈ N mit g ̸= h. Dann ist
π 1 (Σ ′ g) ab = Z 3g ̸∼ = Z 3h = π 1 (Σ ′ h ).
Folglich existiert kein Diffeomorphismus von Σ ′ g nach Σ ′ h .
7.2.2 Pseudotori
Im Gegensatz zu den Flächen existiert im Dreidimensionalen allerdings noch eine zweite
Art Torus: Der Pseudotorus Y 1 = S 2 × S 1 . Auch hieraus lassen sich Summen bilden,
Y 2 = Y 1 # Y 1 , oder allgemeiner Y g = Y g−1 # Y 1 . Die Fundamentalgruppen dieser
Pseudotori sind ebenfalls sehr leicht zu berechnen als π 1 (Y g ) = Z ∗ Z ∗ · · · ∗ Z = Z ∗g .
Ganz analog zum vorherigen Fall erhalten wir eine Sequenz von Tori mit Anfangselement
Y 0 := S 3 , die sich alle voneinander unterscheiden.
.
Y 2
#
Y 3
#
#
.
Abbildung 7.2: Auch der Pseudotorus Y ergibt durch zusammenhängende Summen
eine Abfolge Y i , die den Flächen sehr ähnlich ist.
83