pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 6. Quotienten von Mannigfaltigkeiten
˜p
˜α
˜p
˜α
˜M
˜p
˜α
˜M
˜M
˜M
p
α
M
p
α
p
M
α
p
M
α
M
Abbildung 6.5: Lifts eines Pfades α mit Aufpunkt p können an jedem ˜p in der Faser
π −1 (p) festgemacht werden.
BEWEIS: Sei H : [0, 1] × [0, 1] → M eine Homotopie zwischen α und β relativ
{0, 1}, also mit festen Endpunkten. Wir werden einen Lift ˜H : [0, 1] × [0, 1] → ˜M
von H konstruieren, so dass π ˜H = H ist und ˜H(0, 0) = ˜x. Sobald wir dies erreicht
haben, ist für alle s ∈ [0, 1] wahr, dass π ˜H(0, s) = H(0, s) = x 0 und π ˜H(1, s) =
H(1, s) = x 1 , und weil die Mengen π −1 (x 0 ) und π −1 (x 1 ) diskret sind folglich
˜H(0, s) = ˜x 0 und ˜H(1, s) = ˜x 1 . Damit erhalten wir, dass ˜H eine Homotopie relativ
{0, 1} ist zwischen t ↦→ ˜H(t, 0) und t ↦→ ˜H(t, 1). Wegen der Eindeutigkeit des
Lifts (Lemma 6.12) wissen wir nun, dass ˜α = H(t, 0) und ˜β = H(t, 1) sein muss.
Wähle also 0 = t 0 < · · · < t k = 1 so fein, dass die Mengen V ij := [t i , t i+1 ] ×
[t j , t j+1 ] gleichmäßig überlagert sind, also dass H(V ij ) ⊆ U ij ⊆ M für gleichmäßig
überlagerte offene Mengen U ij ⊆ M ist. Sei Ũ 00 das Blatt über U 00 , welches ˜x 0
s
t 2
1
t 1
0
V 10
V 00 V 01
t
0 t 1 t 2 1
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