pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

Kapitel 3. Die Fundamentalgruppe
Daraus folgt, dass h(t)/h(t j ) ̸= −1 ist, denn h(t) und h(t j ) sind keine Antipoden.
Nun folgt, dass log ( h(t)/h(t j ) ) (der Hauptzweig des Logarithmus) definiert ist,
und gleichzeitig den orientierten Winkel zwischen h(t j ) und h(t) in (−π, π) wieder
gibt. Man setzt nun
ϕ(t) := 1 (
log h(t )
1)
h(t)
+ · · · + log
2πi h(t 0 ) h(t j )
wenn t ∈ [t j , t j+1 ] ist. Somit ist ϕ stetig, ϕ(0) = 0 und da h(t 0 ) = 1 ist, gilt
(
ex ◦ϕ(t) = exp log h(t )
1)
h(t)
+ · · · + log
h(t 0 ) h(t j )
= h(t 1)
h(t 0 ) · · · · · h(t)
h(t j )
= h(t) = f ◦ ex(t)
Die eben gezeigte Abbildung ist eine sogenannte Liftung, wie sie in Abschnitt 6.3 noch
genauer besprochen wird.
Diese Funktion können wir nun benutzen, um eine weitere topologische Invariante zu
definieren:
Definition 3.28: Ist f : S 1 → S 1 stetig und ϕ : [0, 1] → R die eindeutig bestimmte
Funktion mit ϕ(0) = 0 und f ◦ ex = f (1) · ex ◦ϕ, so nennen wir
den Abbildungsgrad von f .
deg( f ) := ϕ(1)
Der Abbildungsgrad einer Funktion f gibt die „Windungszahl“ von f um den Nullpunkt
an (siehe auch Abb. 3.10, und es ist ϕ(1) ∈ Z, denn ex(ϕ(1)) = f (1) −1 · f ◦
ex(1) = f (1) −1 · f (1) = 1.
Von einigen einfachen Funktionen ist der Abbildungsgrad leicht zu bestimmen. Für
die konstante Funktion f (z) = c ist beispielsweise f ◦ ex = f (1) ex ◦ϕ, also ϕ(t) = 0
für alle t ∈ [0, 1], und somit ist deg( f ) = 0. Die Identität hingegen hat deg(id) = 1,
denn es ist id ◦ ex = id(1) ex ◦ id [0,1] , also ϕ(1) = id [0,1] (1) = 1. Genau genommen
interessieren uns die genauen Werte aber gar nicht so sehr, sondern viel mehr, ob wir
den Abbildungsgrad auf eine sinnvolle Weise auch auf ganzen Homotopieklassen von
Abbildungen benutzen können.
Lemma 3.29: Sind f 0 , f 1 : (S 1 , 1) → (S 1 , 1) homotop, so ist deg( f 0 ) = deg( f 1 ).
BEWEIS: Sei dazu ( f s ) s∈[0,1] eine Homotopie zwischen f 0 und f 1 . Folglich ist auch
(h s ) s∈[0,1] := ( f s ◦ ex) s∈[0,1] eine Homotopie zwischen h 0 := f 0 ◦ ex und h 1 = f 1 ◦ ex.
Wie in Lemma 3.27 heben wir jetzt alle h s gleichzeitig zu ϕ s , so dass h s = ex ◦ϕ s
ist. Damit ist Φ : [0, 1] × [0, 1] → R : (t, s) ↦→ ϕ s (t) stetig, denn weil (t, s) ↦→ h s (t)
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