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Kapitel 4. Zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten
π 1 (U ∩ V) = π 1 (S n−1 ) ist, tritt dieser Fall genau dann ein, wenn n ≥ 3 ist. Mannigfaltigkeiten
der Dimension 2 erzeugen bei der Verknüpfung einen „Kreis“, also eine S 1 als
Überschneidung, welcher nicht einfach zusammenhängend ist.
Korollar 4.6: Sei M eine Mannigfaltigkeit der Dimension 2 darstellbar als M = M 1 # M 2 .
Dann ist
π 1 (M) = π 1 (M 1 \{pt}) ∗ π 1 (M 2 \{pt})/π 1 (S).
Dabei ist bei der Quotientenbildung die Einbettung von Z ≃ π 1 (S) als Fundamentalgruppe
des Schnittes zu beachten.
Sei hingegen M eine Mannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 3 darstellbar als M = M 1 # M 2 ,
so ist
π 1 (M) = π 1 (M 1 ) ∗ π 1 (M 2 ).
Dieses folgt aus der Beobachtung, dass M i \{pt} homotopieäquivalent zu M i ist wenn
n ≥ 3 ist und dass in diesem Fall π 1 (S n ) = (1) gilt.
Damit haben wir alle notwendigen Voraussetzungen gesammelt, um Summen und deren
Fundamentalgruppe nützlich anwenden zu können.
4.3 Eine Anwendung: Sphären
Wir können nun unser Wissen anwenden, um den Beweis des aus Abschnitt 3.4 offenen
Satz 3.25 antreten zu können. Dafür finden wir einen Darstellung der n-Sphäre S n als
eine Vereinigung zweier Mengen, deren Fundamentalgruppen wir bereits kennen.
BEWEIS (VON SATZ 3.25): Zu beweisen war: Die Fundamentalgruppe der Sphäre
der Dimension n ≥ 2 ist trivial, also
π 1 (S n ) = (1).
Der einfachste Weg, dies zu bewerkstelligen ist, indem wir einfach die Kartengebiete
des bekannten Atlas der stereographischen Projektionen benutzen. Die Kartengebiete
sind hier S n \{N} und S n \{S}, welche jeweils diffeomorph zu R n sind. Die Fundamentalgruppe
von R n kennen wir aber schon aus Satz 3.23, sie ist π 1 (R n ) = (1),
trivial.
Die Teile, die wir nun in der Hand haben, erfüllen aber die Voraussetzungen des
Satzes von Seifert-van Kampen: U = S n \{N}, V = S n \{S}, X = U ∪ V, U, V und
U ∩ V = S n \{N, S} sind offen und wegzusammenhängend (denn es ist n ≥ 2; für
n = 1 ist U ∩ V = S 1 \{N, S} nicht wegzusammenhängend) und es ist π 1 (U) = (1),
π 1 (V) = (1). Damit erhalten wir, dass π 1 (S n ) = (1) ∗ (1)/N ist. Da aber (1) ∗ (1) =
(1) ist, kommt für N auch nur N = (1) in Frage, und wir erhalten insgesamt:
π 1 (S n ) = π 1 (U) ∗ π 1 (V) = (1).
Es ist anzumerken, dass wir dieser Stelle nur den Satz von Seifert-van Kampen benutzen,
nicht die zusammenhängende Summenbildung.
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