pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

6.6. Überlagerungen und Flächen
Es reicht also, solche Überlagerungen zu betrachten, deren Fundamentalgruppen trivial
sind. In diesem Fall berechnet sich auch die Fundamentalgruppe der überlagerten
Mannigfaltigkeit sehr leicht:
π 1 (M/Γ) ∼ = Γ.
Damit haben wir also unser Ziel erreicht: ein weiteres Werkzeug zur Erzeugung von
Mannigfaltigkeiten, das uns gleichzeitig auch Informationen über die Fundamentalgruppe
liefert.
6.6 Überlagerungen und Flächen
Da wir nun wissen, dass jede Mannigfaltigkeit eine universelle Überlagerung besitzt,
trifft dies natürlich insbesondere auch auf die Flächen zu. Wir können also nun unsere
Kenntnisse anwenden, um die Flächen auf eine weitere Weise zu charakterisieren.
Lemma 6.24: Sei M = R und Γ = Z, welches mit der Operation der Verschiebung eigentlich
diskontinuierlich operiert. Dann ist M/Γ ∼ = S 1 und somit auch π 1 (S 1 ) = Z.
0 1 2 3
R S 1 1 ∈ C
Abbildung 6.6: Schematische Darstellung der Operation Γ = Z auf R durch Verschiebung.
Jeder Abschnitt [k, k + 1) wird äquivalent auf [0, 1) verschoben.
Die Randpunkte werden dabei identifiziert, das heißt, dass 0 ∼ 1 und
generell . . . r − 1 ∼ r ∼ r + 1 ∼ r + 2 . . . gilt.
BEWEIS: Wir benutzen als Diffeomorphismus das von der Exponentialabbildung
ex : R → C : t ↦→ e 2iπt induzierte ex : R/Z → S 1 , wobei S 1 identifiziert wird mit
dem Einheitskreis in C. Die Umkehrung ist durch den Hauptzweig des Logarithmus
gegeben, was durch die Verschiebungsoperation von Γ = Z zu einer stetigen
Funktion wird.
R
❅
ex
π ❅
❅
❄ ❅❘
R/Z ✲ S 1
ex
Aus dem vorangegangenen Lemma können wir noch eine weitere Mannigfaltigkeit erzeugen:
Lemma 6.25: Sei M = R 2 und Γ = Z 2 , mit der Operation der Verschiebung ist dies eine
eigentlich diskontinuierliche Operation. Dann ist M/Γ = T 2 .
BEWEIS: Dies folgt direkt aus Lemma 6.24, denn es ist T 2 = S 1 × S 1 .
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