pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

3.4. Wichtige Beispiele
Satz 3.22: Seien M 1 und M 2 Mannigfaltigkeiten mit π 1 (M 1 ) ̸∼ = π1 (M 2 ), so existiert kein
Homöomorphismus (und damit insbesondere auch kein Diffeomorphismus) ψ : M 1 → M 2 .
BEWEIS: Wir beweisen die Umkehrung: Seien M 1 und M 2 homöomorph via ˜ψ :
M 1 → M 2 . Dann ist ψ : π 1 (M 1 ) → π 1 (M 2 ) : [α] ↦→ [ ˜ψ ◦ α] ein Isomorphismus:
• Für zwei Pfade α 1 , α 2 ∈ C(M 1 ) gilt:
ψ([α 1 ∗ α 2 ]) = [ ˜ψ ◦ (α 1 ∗ α 2 )] = [( ˜ψ ◦ α 1 ) ∗ ( ˜ψ ◦ α 2 )]
Also ist ψ ein Homomorphismus.
= [ ˜ψ ◦ α 1 ] · [ ˜ψ ◦ α 2 ] = ψ(α 1 ) · ψ(α 2 ).
• Die Abbildung ψ −1 : π 1 (M 2 ) → π 1 (M 1 ) : [β] ↦→ [ ˜ψ −1 ◦ β] ist die Umkehrabbildung
von ψ. Sei dazu α ∈ π 1 (M 1 ), dann ist ψ −1 ◦ ψ([α]) = [ ˜ψ −1 ◦ ˜ψ ◦ α] =
[α], es ist also ψ ◦ ψ −1 = id. Analog zur oberen Darstellung ist ψ −1 ein Homomorphismus.
• Umgekehrt ist auch ψ −1 ◦ ψ = id.
Damit ist ψ insgesamt ein Isomorphismus.
Mit diesem Satz haben wir schließlich die Ankündigung vom Anfang des Kapitels erfüllt:
wir können jetzt Mannigfaltigkeiten anhand ihrer Fundamentalgruppen unterscheiden.
Haben zwei Mannigfaltigkeiten Fundamentalgruppen, die nicht isomorph
sind, wissen wir sofort, dass es keinen Diffeomorphismus geben kann.
Es ist jedoch wichtig, zu beachten, dass wir nur eine trennende Eigenschaft gefunden
haben, denn die Fundamentalgruppe gibt eben nur einen gewissen Teil der topologischen
Information in M wieder. Da es jedoch leichter ist, Gruppen zu unterscheiden
als Mannigfaltigkeiten, und da durch die Fundamentalgruppe trotzdem noch eine
große Menge an Mannigfaltigkeiten getrennt werden kann (vgl. Kapitel 7), lohnt es sich
doch meist, die Fundamentalgruppe zu berechnen und erst, wenn dieser Versuch fehl
schlägt, nach anderen Merkmalen zu suchen.
3.4 Wichtige Beispiele
Wir können nun damit beginnen, einige Mannigfaltigkeiten zu untersuchen und deren
Fundamentalgruppen zu bestimmen. Die aus den Definitionen 2.18 und 2.22 bekannten
Mannigfaltigkeiten sollen dabei als erste Grundlage dienen.
Satz 3.23: Die Fundamentalgruppe des reellen Raumes R n beliebiger Dimension n, ist trivial:
π 1 (R n ) = (1).
BEWEIS: Laut 3.18 sind die Fundamentalgruppen bei abweichender Wahl von Aufpunkten
isomorph, wenn es einen Pfad zwischen den gewählten Punkte gibt. Da
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