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6 Quotienten von Mannigfaltigkeiten
Das zweite Werkzeug, das wir benötigen um die Klassifizierung der 3-Mannigfaltigkeiten
im Thurston-Programm durchführen zu können ist die Quotientenbildung, welche
aus einer „großen“ Mannigfaltigkeit eine „kleinere“ Mannigfaltigkeit herstellt 1 . Dies ist
sehr nützlich, da wir von Mannigfaltigkeiten mit einer sehr einfachen Struktur ausgehen
können und daraus Quotienten bilden, die jede nur erdenkliche Eigenschaft haben.
Tatsächlich besteht die Menge der Mannigfaltigkeiten, die den Ausgangspunkt für das
Thurstonprogramm bildet aus nur acht Mannigfaltigkeiten.
Abbildung 6.1: Die Quotientenbildung erzeugt aus einer „großen“ Mannigfaltigkeit eine
„kleinere“, wobei verschiedene Eigenschaften erhalten werden.
Im Folgenden werden wir zuerst die formale Definition eines Quotienten einer Mannigfaltigkeit
als Überlagerung definieren. Daraufhin werden wir eine Methode präsentieren,
durch die Überlagerungen erzeugt werden können; Das Verhalten der Fundamentalgruppe
bei der Quotientenbildung wird überwacht werden. Schließlich wenden wir
die Theorie an, um die existierenden Flächen auf eine weitere Weise zu klassifizieren.
Es ist anzumerken, dass die Überlagerungstheorie auch an sich einen interessanten
Zweig der algebraischen Topologie darstellt. Viele der hier gezeigten Sätze haben daher
Formulierungen, die wesentlich allgemeiner sind als die hier aufgeführten.
6.1 Überlagerung
Eine Überlagerung ist wie folgt definiert:
Definition 6.1: Sei M ein zusammenhängender topologischer Raum. Dann heißt stetige
Abbildung π : ˜M → M mit einem zusammenhängenden ˜M eine Überlagerung
von M, wenn es eine offene Überdeckung {U i } i∈I von M gibt, so dass jedes Urbild
1 Die Bezeichnungen als „große“ oder „kleine“ Mannigfaltigkeiten sind nur in einem anschaulichen Sinne
zu verstehen.
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